Betreten Sie die faszinierende Welt der abstrakten Algebra, wo Zahlen und Operationen in einem völlig neuen Licht erscheinen. Diese aufschlussreiche Reise durch die Grundlagen der Gruppentheorie enthüllt die verborgenen Strukturen, die unser Verständnis von Mathematik und darüber hinaus prägen. Entdecken Sie, wie die scheinbar einfachen Konzepte von Gruppen, Ringen und Körpern die Grundlage für komplexe Zahlbereichserweiterungen bilden, von den natürlichen Zahlen bis zu den geheimnisvollen reellen Zahlen. Tauchen Sie ein in die präzisen Definitionen von Verknüpfungen, lernen Sie die Axiome kennen, die Gruppen definieren, und verstehen Sie, wie Ringe und Körper als spezialisierte algebraische Strukturen entstehen. Anhand klarer Erklärungen und anschaulicher Beispiele wird die abstrakte Algebra zugänglich und enthüllt ihre praktische Bedeutung bei der Konstruktion neuer Zahlenmengen wie der komplexen Zahlen. Erforschen Sie die Schönheit der mathematischen Abstraktion und gewinnen Sie ein tiefes Verständnis für die Prinzipien, die die moderne Mathematik untermauern. Dieses Buch ist ein unverzichtbarer Leitfaden für Studierende, Mathematiker und alle, die sich für die Grundlagen der Mathematik interessieren und einen Einblick in die Welt der abstrakten Strukturen gewinnen wollen. Lassen Sie sich von der Eleganz der Gruppentheorie verzaubern und entdecken Sie, wie diese scheinbar abstrakten Konzepte unser Verständnis der Welt verändern. Wagen Sie den Schritt in die Welt der Gruppen, Ringe und Körper und erleben Sie eine neue Dimension mathematischen Denkens. Die Reise beginnt hier: Ergründen Sie die essenziellen Bausteine der Mathematik und erweitern Sie Ihren Horizont. Ein unverzichtbarer Schlüssel zum Verständnis mathematischer Zusammenhänge und zur Erschliessung neuer Dimensionen des Denkens, ideal für Studierende und Dozenten gleichermassen. Erleben Sie die Schönheit und Präzision mathematischer Strukturen, die unser Universum prägen.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Erläuterung Gruppen, Ringe und Körper
2.1 Verknüpfungen
2.2 Gruppen
2.3 Ringe
2.4 Körper
3. Andere Verknüpfungsarten als + undAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3.1 Restklassen
3.2 Additive Restklassengruppe
3.3 Restklassenringe und Körper
4. Anwendung bei den Zahlbereichserweiterungen
4.1 Die Menge der natürliche Zahlen
4.2 Der Ring der ganzen Zahlen
4.3 Der Körper der rationalen Zahlen
4.4 Vervollständigung zu den reellen Zahlen
4.5 Mögliche weitere Erweiterungen und Ausblicke
5 Schlussteil
6 Literaturverzeichnis
7 Anhang
7.1. Wikipedia Axiom
7.2. Keilbach, Komplexe Zahlen
7.3. TU Freiberg, Zur Geschichte der Gruppentheorie
1. Einleitung
Was sind eigentlich Gruppen, Ringe und Körper? Diese drei Begriffe stammen aus der Gruppentheorie, welche ein Teil der Mathematik ist. Entstanden ist dieser Teil der Algebra im 19. Jahrhundert, obwohl mit Gruppen auch schon vorher gearbeitet wurde. Jedoch waren diese Gruppen dort nicht über Axiome[1] definiert. Axiome sind Grundgegebenheiten, die man nicht beweisen kann. Beim Aufstellen von Definitionen oder Gleichungen versucht man stets durch Umformungen auf Axiome zurückzukommen.[2]
Zu erst wurden Gruppen, Ringe und Körper allgemein als Algebra bezeichnet, jedoch wurde zur Abgrenzung gegenüber anderen Algebragebieten ein eigenes Teilgebiet, die abstrakte Algebra für Gruppen, Ringe und Körper eingeführt.
Anhand der Gruppentheorie wurde die Erweiterung von Zahlbereichen begründet und durch die selbe Methode wurden beispielsweise auch neue Zahlenmengen, wie die komplexen Zahlen ÿ oder andere Zahlenmengen, die aus mehrdimensionalen Gebilden bestehen, wie z.B. die Quaternionen, Oktaven oder Sedenionen, eingeführt. Eine Ausarbeitung der zuletzt genannten Mengen, würde den Rahmen dieser Facharbeit jedoch erheblich überschreiten.
In dieser Facharbeit werde ich auf die Grundlagen der Gruppentheorie eingehen und anhand von Beispielen die Erweiterungen von natürlichen Zahlen û, über Zwischenschritte bis zu den reellen Zahlen þ verdeutlichen.
2. Erläuterung Gruppen, Ringe und Körper
2.1 Verknüpfungen
Um die Definition einer Gruppe zu verstehen, muss man vorher wissen, was eine Verknüpfung ist. Allgemein ist eine Verknüpfung der Oberbegriff für eine Rechenoperation. Dabei gibt es verschiedene Arten von Verknüpfungen. Es gibt einstellige, zweistellige und mehrstelligen Verknüpfungen. Hauptsächlich werde ich hier die zweistelligen Verknüpfungen erläutern, weil die anderen für mein Thema nicht von großer Bedeutung sind.
Eine einstellige Verknüpfung ist eine Rechenoperation, bei der nur ein Element einer Menge und ein Symbol gegeben sind. Beispiele für eine einstellige Verknüpfung sind z.B. die Negation (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten), der Kehrwert (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) oder die Fakultät (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Diese Verknüpfungen heißen einstellig, da mit einem Element und dem Symbol für die Verknüpfung auf ein anderes Element verwiesen wird.
Zweistellige Verknüpfungen sind die meistgenutzten Verknüpfungen. Sie bestehen aus zwei Elementen und einem Verknüpfungssymbol, welches meistens zwischen den beiden Elementen steht und eine Rechenoperation beschreibt, die mit den beiden Elementen durchgeführt wird. Geläufige zweistellige Verknüpfungen sind die vier Grundrechenarten: Die Addition (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten), deren Umkehrung die Subtraktion (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ), die Multiplikation (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) und deren Umkehrung die Division (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Nun gibt es aber auch Verknüpfungen die neu definiert werden.
„Auf der Menge G ist eine Verknüpfung o erklärt, wenn für jedes geordnete Paar a, b i G [das Ergebnis] eindeutig definiert ist, was unter aob zu verstehen ist.“[3]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Solche zweistellige Verknüpfungen sind in Beispiel 1 erkenntlich. Wir gehen dabei als Grundmenge von den reellen Zahlen aus:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Diese Verknüpfungen sind für alle Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten þ definiert. Dagegen wäre der Term aus Beispiel 2 keine Verknüpfung in þ, weil er nur für positive Produkte Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten definiert wäre.
2.2 Gruppen
Eine Zahlenmenge M und eine zweistellige Verknüpfung o bilden eine Gruppe (G, o), wenn folgende vier Axiome erfüllt sind:
1. Abgeschlossenheit: Zu jedem Element Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist das Ergebnis der Verknüpfung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wieder ein Element von M. Zum Beispiel ist die Menge û bezüglich der Addition abgeschlossen, weil alle Summen von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten û ein Ergebnis in der Menge der natürlichen Zahlen ergeben.
Dagegen ist die Menge û bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen, denn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten würde ein negatives Ergebnis liefern, welches keine natürliche Zahl ist.
2. Assoziativität: Für die Verknüpfung o muss das Assoziativgesetz gelten:
(a o b) o c = a o (b o c)
Dieses Gesetz besagt, dass die Reihenfolge, in der man die Verknüpfungen ausführt vertauschbar ist.
3. Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element n, dass für die Verknüpfung o das Ergebnis nicht beeinflusst . a o n = a = n o a
Das neutrales Element der Addition ist z.B. die 0 (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Bei der Multiplikation ist das neutrale Element 1 (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten).
4. Existenz eines inversen[4] Elements: Es existiert zu jedem Element a ein inverses Element i zu a, so dass für die Verknüpfung mit dem Element i das Ergebnis der Verknüpfung das neutrale Element ist: a o i = n und i o a = n.
Bei der Schreibweise des inversen Elementes unterscheidet man zwischen multiplikativem (a-1) und additivem inversen Element (–a).
Für die uns bekannte Addition ist das inverse Element das Negative einer Zahl. Bei der Multiplikation spricht man vom Kehrwert.
Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) bezüglich der Verknüpfung o gilt, spricht man von einer kommutativen oder abelschen[5] Gruppe.
Verallgemeinerungen einer Gruppe sind eine Halbgruppe mit nur den ersten beiden Axiomen, oder ein Monoid mit den ersten drei Axiomen.
2.3 Ringe
Ringe sind Mengen mit zwei, innerhalb des Ringes definierten, zweistelligen Verknüpfungen. Diese beiden Verknüpfungen werden additive und multiplikative Verknüpfung genannt, können sich aber in ihrer Ausführung der uns bekannten Addition und Multiplikation unterscheiden. Um Missverständnisse zu vermeiden benutzt man als Symbole für die Rechenoperationen, sofern es sich nicht um die normale Addition oder Multiplikation handelt, eingekreiste Rechenzeichen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die additive Verknüpfung und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die multiplikative Verknüpfung.
Ein Ring muss folgende Vorraussetzungen erfüllen um als Ring bezeichnet zu werden:
1. Bezüglich der Addition muss der Ring eine abelsche Gruppe bilden. Es müssen also alle zuvor genannten Gruppenaxiome gelten.
2. Bezüglich der Multiplikation muss der Ring eine Halbgruppe bilden. Das heißt, dass nur die ersten beiden Axiome, die Abgeschlossenheit und die Assoziativität erfüllt sein müssen.
3. Die beiden Verknüpfungen sind durch das Distributivgesetz miteinander verknüpft: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Gilt ferner für die Multiplikation das Kommutativgesetz, so spricht man von einem kommutativen Ring.
Falls für die Multiplikation ein neutrales Element existiert, nennt man den Ring auch unitären Ring.
2.4 Körper
Ein Körper ist ein spezieller Ring. Damit man von einem Körper sprechen kann, muss die Menge M, mit zwei zweistelligen Verknüpfungen die folgenden Bedingungen erfüllen:
[...]
[1] „Axiom (v. griech.: tà to~n progónon axiómata) = als wahr angenommener Grundsatz“ (Wikipedia, Axiom)
[2] vgl. Technische Universität Freiberg: „Zur Geschichte der Gruppentheorie“ URL:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/gruppenhistorie.html [Stand: 1.03.05]
[3] Gerhard Keilbach, Georg-Büchner-Gymnasium Winnenden, 2000: „Komplexe Zahlen“. URL: http://www.keilbach.onlinehome.de/mathe/m12/komplex1.html
[4] invers (vom lat. inversus) = umgekehrt (aus Fremdwörterlexikon)
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Thema dieser Abhandlung?
Diese Abhandlung befasst sich mit den Grundlagen der Gruppentheorie, insbesondere mit Gruppen, Ringen und Körpern. Sie erläutert, wie diese mathematischen Konzepte zur Erweiterung von Zahlbereichen verwendet werden, von natürlichen Zahlen bis zu reellen Zahlen.
Was sind Gruppen, Ringe und Körper?
Gruppen, Ringe und Körper sind algebraische Strukturen, die in der Gruppentheorie definiert werden. Sie sind durch Axiome definiert und werden verwendet, um mathematische Operationen und Zahlbereiche zu untersuchen und zu erweitern.
Was ist eine Verknüpfung im Kontext von Gruppen?
Eine Verknüpfung ist eine Rechenoperation. Es gibt einstellige, zweistellige und mehrstellige Verknüpfungen. Die zweistelligen Verknüpfungen (z.B. Addition oder Multiplikation) sind besonders relevant für die Definition von Gruppen, Ringen und Körpern.
Welche Axiome muss eine Menge erfüllen, um eine Gruppe zu bilden?
Eine Menge muss bezüglich einer zweistelligen Verknüpfung Abgeschlossenheit, Assoziativität, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz eines inversen Elements erfüllen, um eine Gruppe zu bilden.
Was ist der Unterschied zwischen einer Gruppe, einem Ring und einem Körper?
Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung, die bestimmte Axiome erfüllt. Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition und Multiplikation), wobei die Addition eine abelsche Gruppe bildet, die Multiplikation eine Halbgruppe bildet und das Distributivgesetz gilt. Ein Körper ist ein spezieller Ring, der zusätzliche Bedingungen erfüllt.
Was bedeutet Abgeschlossenheit in Bezug auf Gruppen?
Abgeschlossenheit bedeutet, dass das Ergebnis der Verknüpfung zweier Elemente innerhalb der Menge wieder ein Element derselben Menge ist.
Was bedeutet Assoziativität in Bezug auf Gruppen?
Assoziativität bedeutet, dass die Reihenfolge, in der man die Verknüpfungen ausführt, keine Rolle spielt: (a o b) o c = a o (b o c).
Was ist ein neutrales Element?
Ein neutrales Element ist ein Element, das bei der Verknüpfung mit einem anderen Element das Ergebnis nicht verändert.
Was ist ein inverses Element?
Ein inverses Element ist ein Element, das bei der Verknüpfung mit einem anderen Element das neutrale Element ergibt.
Was ist eine abelsche Gruppe?
Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, in der zusätzlich das Kommutativgesetz (a o b = b o a) gilt.
Was ist ein Ring?
Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition und Multiplikation), wobei die Addition eine abelsche Gruppe bildet, die Multiplikation assoziativ ist, und das Distributivgesetz gilt.
Was ist ein Körper?
Ein Körper ist ein spezieller Ring mit zusätzlichen Eigenschaften, die hier aber nicht weiter ausgeführt werden.
Welche Zahlbereichserweiterungen werden in der Abhandlung betrachtet?
Die Abhandlung betrachtet die Erweiterung von natürlichen Zahlen (û) über Zwischenschritte bis zu den reellen Zahlen (þ).
- Arbeit zitieren
- Martin Krenkel (Autor:in), 2005, Gruppen, Ringe, Körper in der Mathematik (Zahlentheorie) am Beispiel der Zahlbereichserweiterungen, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/109361
