INHALTSVERZEICHNIS
1. Einleitung
2. Biographie
3. Die Eulersche Zahl
3.1. Die Eulersche Zahl lässt sich mit Hilfe der Exponentialfunktion definieren
3.2. Darstellung der Exponentialreihe
3.3. Darstellung der Reihe für den Logarithmus
3.4. Vereinfachung dere - Funktion
3.5. Der Graph der e - Funktion
3.6. Anwendungsbeispiel der Eulerschen Zahl
4. Der Eulersche Polyedersatz
4.1. Allgemeines zu Polyedern
4.2. Was ist die vollständige Induktion?
4.3. Beweis des Eulerschen Polyedersatzes.
4.4. Zusammenhang zwischen K und E, sowie zwischen K und F
4.5. Die regulären Polyeder
4.6. Der Handball als Polyeder (Anwendungsbeispiel)
5. Schluss
6. Anhang
7. Quellen
8. Versicherung der selbständigen Erarbeitung
1. Einleitung
Wenn man heute Mitmenschen zur Person Leonhard Euler befragt, bekommt man oft nur Gegenfragen zurück, wie: „Hat der nicht etwas mit der Eulerschen Zahl zu tun?“ oder „Gibt es da nicht eine Taste auf dem Taschenrechner?“
Doch für die Mathematiker ist Leonhard Euler brandaktuell. Denn mit Hilfe der Eulerschen Knickformel werden zahlreiche Simulationen des am 11.September 2001 durch Terroranschläge eingestürzte World Trade Center berechnet.
Aber auch im alltäglichen Leben ist Leonhard Euler in der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Hier kennt man neben der Eulerschen Zahl, dem Eulerschen Polyedersatz, der Differentialrechnung, viele weitere Errungenschaften von ihm. Er schrieb über 900 wissenschaftliche Arbeiten, darunter waren:
1736 Mechanica
1737 Über Kettenbrüche
1739 Tentamen novae musicae
1744 Theorie der Planetenbewegung
1745 Neue Grundsätze der Artillerie
1746 Nova theoria lucis et colorum
1748 Über die Schwingungen einer Saite
1748 Introductio in analysin infinitorum
1749 Theorie des Schiffbaues
1755 Institutiones calculi differentialis
1770 Institutiones calculi integralis
1770 Vollständige Anleitung zur Algebra
1771 Dioptrica [vgl. Wussing, Arnold,1985 und Bell, 1967]
Nebenbei hat er die Ehre auf dem aktuellen 10 Franken Banknote der Schweiz abgebildet zu sein:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Da ich mich mehr auf die Schulmathematik beziehen möchte, werde ich mich auf die Eulersche Zahl und dem Eulerschen Polyedersatz beschränken.
Die Eulersche Zahl werde ich mit Hilfe der Reihen für die Exponentialfunktion (3.2) und der Logarithmusfunktionen (3.3) darstellen. In 3.6 beziehe ich die Eulersche Zahl auf das alltägliche Leben.
Den Eulerschen Polyedersatz werde ich anhand der vollständigen Induktion beweisen (4.3), wobei ich dieses Beweisverfahren in 4.2 kurz erläutern werde. In 4.5 werde ich mit Hilfe des Eulerschen Polyedersatzes zeigen, dass es nur fünf regelmäßige Polyeder gibt. Anhand eines Anwendungsbeispiels (4.6) werde ich das Thema des Eulerschen Polyedersatzes abschließen.
2. Biographie Leonhard Eulers
Leonhard Euler war einer der bedeutensten Mathematiker des Aufklärungszeitalters. Er wurde am 15. April 1707 in Basel geboren. Sein Vater, Paul Euler war als Pfarrer tätig und seine Mutter war Hausfrau. Paul Euler war ein gebildeter Mann, der sich neben der Theologie auch mit der Mathematik beschäftigte. Durch eine Freundschaft mit den Mathematikern Johann(1)und Jakob(2)Bernoulli erkannte man das Talent Leonhard Eulers für die Mathematik. So unterrichtete Johann Bernoulli „Leonhard Euler zusammen mit seinen eigenen Söhnen Nikolaus(3)und Daniel(4)in Mathematik“[Wussing, Arnld, S. 248]. 1724 bekam Euler den Magistertitel. Mit 19 erhielt Euler eine Einladung von der russischen Zarin Katharina I(5)um an der Petersburger Akademie der Wissenschaft Karriere zu machen. 1730 bekam er die Physikprofessur und 1733 die Mathematikprofessur. In diesem Jahr heiratete Euler Katharina Gsell mit der er dreizehn Kinder zeugte, wobei nur fünf Kinder überlebten.
Leonhard Eulers erste fruchtbare Schaffensperiode war in den Jahren 1727 bis 1741. Er entwickelte sich in dieser Zeit „zu einer Forscherpersönlichkeit, die an Vielseitigkeit, Produktivität und Wirksamkeit aus der Geschichte der Wissenschaft herausragte“[Wussing, Arnold, S. 248]. Seine Anwendungen bezogen sich auf technologische Probleme, wie dem Schiffsbau, der Astronomie oder der Mechanik.
1741 wechselte Euler zur Berliner Akademie, wo er die zweite 26 jährige Periode erarbeitete. Hierbei betrieb er Forschungsarbeiten für Preußen unter Friedrich I(6). Euler schrieb viele seiner Werke in Berlin, die der Mathematik des 18. Jahrhundertes ihr Gepräge gaben. Darunter war das für die damalige Mathematik bedeutenste Buch „Introductio in analysin infinitorem“ das 1748 in zwei Bänden erschienen ist. Die Bände enthalten Einführungen über die algebraische Analysis, die Theorie der Zahlenreihen, die analytische Geometrie und Kurvendiskussionen. Auch stellt Euler die Regeln rationaler und irrationaler Funktionen dar. Er führte hierbei das Funktionssymbol „f(x)“ ein! Um 1755 versuchte Euler aus den preußischen Diensten entlassen zu werden, da es große „charakterliche und weltanschauliche“[Wussing, Arnold, S. 254] Differenzen zwischen ihm und Friedrich II gab. Dieser ließ ihn aber dreimal abprallen bis Euler schließlich 1766 nach Wunsch von Katharina II(7)mit seiner Familie nach St.
Petersburg an die Akademie zurückkehrte. Noch im gleichen Jahr verlor Euler sein Augenlicht und 1773 seine Frau. Doch durch sein gutes Gedächnis, der Unterstützung von seinem Sohn Johann Albrecht(8)und weiteren Schülern schaffte es Euler erfolgreich weiter zu arbeiten. Ein gutes Drittel seines Lebenswerkes entstand noch unter diesen schwierigen Bedingungen, womit auch die dritte und letzte Schaffensperiode eingeleitet wurde.
1770 erschien in deutscher Sprache das Buch mit dem Titel „Vollständige Anleitung zur Algebra“. Euler diktierte es seinem Gehilfen, der die Schreinerei erlernt hatte.
Hierbei veränderte Euler den Inhalt so lange bis der Gehilfe dieses auch verstand. In den letzten Jahren seines Lebens beschäftiget sich Euler mit der Überarbeitung einiger seiner fast 900 Arbeiten, in denen er Lücken festgestellt hatte.
Am 18.September 1783 starb Leonhard Euler an den Folgen eines Schlaganfalls in St. Petersburg.
[vgl. Wussing, Arnold,1985 und Bell, 1967]
3. Die Eulersche Zahl e
3.1. Die Eulersche Zahl e lässt sich mit Hilfe der Exponentialreihe definieren:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3.2. Darstellung der Exponentialreihe
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Inhalt des Inhaltsverzeichnisses?
Das Inhaltsverzeichnis umfasst folgende Punkte: Einleitung, Biographie von Leonhard Euler, die Eulersche Zahl (Definition, Exponentialreihe, Logarithmusreihe, Vereinfachung, Graph, Anwendungsbeispiel), der Eulersche Polyedersatz (Allgemeines zu Polyedern, vollständige Induktion, Beweis des Satzes, Zusammenhang zwischen Kanten, Ecken und Flächen, reguläre Polyeder, Handball als Beispiel), Schluss, Anhang, Quellen und Versicherung der selbstständigen Erarbeitung.
Worum geht es in der Einleitung?
Die Einleitung beleuchtet die Bekanntheit Leonhard Eulers und die Bedeutung seiner Arbeit, insbesondere die Eulersche Knickformel. Es werden einige seiner zahlreichen wissenschaftlichen Arbeiten aufgezählt und die Beschränkung der Arbeit auf die Eulersche Zahl und den Eulerschen Polyedersatz begründet. Weiterhin werden die methodischen Ansätze zur Erläuterung beider Themen vorgestellt.
Was beinhaltet die Biographie von Leonhard Euler?
Die Biographie schildert das Leben Leonhard Eulers von seiner Geburt in Basel bis zu seinem Tod in St. Petersburg. Sie thematisiert seine Ausbildung, seine Karriere an den Akademien in St. Petersburg und Berlin, seine familiären Verhältnisse, seine wissenschaftlichen Leistungen und die Umstände seiner letzten Lebensjahre.
Was wird über die Eulersche Zahl e behandelt?
Die Eulersche Zahl wird definiert und anhand der Exponentialreihe und der Logarithmusreihe dargestellt. Es werden die Vereinfachung der e-Funktion und ihr Graph erläutert. Abschließend wird ein Anwendungsbeispiel der Eulerschen Zahl gegeben.
Was ist der Eulersche Polyedersatz und was wird dazu erklärt?
Der Eulersche Polyedersatz wird erklärt, indem zunächst auf Polyeder im Allgemeinen eingegangen wird. Anschließend wird die vollständige Induktion als Beweisverfahren vorgestellt. Der Eulersche Polyedersatz wird bewiesen und der Zusammenhang zwischen Kanten, Ecken und Flächen wird verdeutlicht. Die regulären Polyeder werden betrachtet und der Handball als Anwendungsbeispiel angeführt.
Welche Themenbereiche deckt die HTML-Datei ab?
Die HTML-Datei deckt folgende Themen ab: Biographie von Leonhard Euler, die Eulersche Zahl (e) und der Eulersche Polyedersatz.
Wer war Leonhard Euler?
Leonhard Euler war einer der bedeutendsten Mathematiker des Aufklärungszeitalters, geboren in Basel und gestorben in St. Petersburg. Er leistete wesentliche Beiträge zu verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.
Was sind die Exponential- und Logarithmusreihen im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl?
Die Exponential- und Logarithmusreihen sind mathematische Darstellungen, die verwendet werden, um die Eulersche Zahl (e) zu definieren und zu approximieren. Sie bieten eine Möglichkeit, e als unendliche Summe auszudrücken.
Was ist die vollständige Induktion und warum wird sie im Kontext des Eulerschen Polyedersatzes erwähnt?
Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, die verwendet wird, um Aussagen für alle natürlichen Zahlen oder eine unendliche Menge zu beweisen. Sie wird im Kontext des Eulerschen Polyedersatzes erwähnt, weil sie als Beweisverfahren für diesen Satz dient.
Was sind reguläre Polyeder und wie hängen sie mit dem Eulerschen Polyedersatz zusammen?
Reguläre Polyeder sind dreidimensionale geometrische Körper, deren Flächen alle kongruente, reguläre Polygone sind und deren Ecken alle identisch sind. Der Eulersche Polyedersatz kann verwendet werden, um zu zeigen, dass es nur fünf reguläre Polyeder gibt (die platonischen Körper).
- Arbeit zitieren
- Jens Meyer (Autor:in), 2002, Leonhard Euler, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/107420
