Inhaltsangabe
1. Irrationale Zahlen allgemein. (alle zusammen)
2. Die Zahl Pi (einer einzeln)
3. Historie der Zahl Pi (einer einzeln)
4. Die Zahl e (einer einzeln)
5. Literaturverzeichnis
6. Anhang
1 Irrationale Zahlen
1.a.) Diese Facharbeit gibt einen Einblick in einen großen und wichtigen Bereich in der Mathematik, in den Bereich der irrationalen Zahlen. Diese sind jene reellen Zahlen, die nicht rational sind, d.h. die sich nicht als Bruch ''ganze Zahl / ganze Zahl'' schreiben lassen. Es sind reelle Zahlen, deren Dezimaldarstellung weder abbricht noch periodisch ist.
Die Menge aller irrationalen Zahlen ist so ''groß'', dass sie sich nicht ''durchnumerieren'' lässt. Sie ist (im Gegensatz zur Menge der rationalen Zahlen) überabzählbar, eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Die rationalen Zahlen, mit denen man es in der Praxis so oft zu tun hat, und die in so vielen Rechenaufgaben vorkommen, bilden genau genommen nur eine verschwindende Minderheit! Jedoch ergeben die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen die Menge der reellen Zahlen. Der Begriff irrationale Zahl ist eng verbunden mit dem Wurzelbegriff. Neben irrationalen Wurzelausdrücken gibt es weitere irrationale Zahlen wie z. B. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, e, Logarithmen und trigonometrische Funktionen, um nur die Wesentlichen zu nennen. Zur Betrachtung von irrationalen Zahlen dient besonders die Zahlengrade, die komplett durch die reellen Zahlen abgedeckt ist.
Um zu Beweis, dass es irrationale Zahlen gibt, braucht man Pythagoras: Wir nehmen ein rechteckiges Dreieck mit gleich langen Katheten, deren Länge z.B. gleich eins gewählt ist. Die Frage ist: Wie lang ist die Hypotenuse? Als Ergebnis wollen wir etwas "Harmonisches" bekommen, nämlich
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so dass m und n ganze Zahlen wären. Wir können den gemeinsamen Faktor, falls es den gibt, ausdividieren. Also sind m und n fremd. m muss eine gerade Zahl sein, und deswegen n eine ungerade. Schreiben wir dann m = 2p, und bekommen dann n² = 2p², also ist nun n² und deswegen n eine gerade Zahl, im Gegensatz zu der Hypothese. Also, per Definitionem, c = √2, haben wir bewiesen, mit Pythagoras, dass es irrationale Zahlen gibt.
{http://www.camtp.uni-mb.si/camtp/robnik/novacella2001/quantenchaos/node2.html}
1.b.) Zu der Betrachtung von irrationalen Zahlen werden Quadrate von Zahlen sowie Quadratwurzeln behandelt. Die Quadratzahlen können mit Hilfe des Flächeninhaltes von einem Quadrat repräsentiert werden, die Quadratwurzel als Kantenlänge eines Quadrates. Zur Herleitung der irrationalen Zahlen wird die Existenz einer derartigen Zahl nachgewiesen. Als Repräsentation bietet sich die Länge einer Strecke an, da diese besonders
gut an einer Zahlengerade deutlich gemacht werden kann und Punkte (in einem bestimmten Abstand links bzw. rechts zur Null) als Zahlen identifiziert werden können.
Beispiel:
Es wird das folgende Ausgangsproblem behandelt:
Wie lang ist die Diagonale eines Quadrates mit einer Kantenlänge von 1 cm ?
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Zur Bestimmung von d kann auch der Satz des Pythagoras angewendet werden, doch es kann auch anders vorgegangen werden. Es können nämlich andere geometrische Begründungen herangezogen werden. Das große Quadrat ist doppelt so groß wie das kleine Quadrat. Es ergibt sich:
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Damit ist eine Strecke von √2 cm konstruiert worden. Demnach muss es auch eine Zahl geben. Der nächste Schritt ist, diese Zahl genauer zu beschreiben. Der Taschenrechner liefert 1,414... was die Position auf der Zahlengerade erahnen lässt. Da √2 keine ganze Zahl ist, bleibt die Vermutung, dass √2 ein Bruch ist, den man genauer bestimmen kann.
Der Irrationalitätsbeweis { siehe oben} von √2 lässt sich für alle Quadratwurzeln von Primzahlen verallgemeinern. Außerdem folgt, dass das wiederholte Ziehen der Quadratwurzel von einer Primzahl wieder eine irrationale Zahl liefert. Man erhält also beliebig viele neue Zahlen, die nicht in Q liegen.
Weitere Möglichkeiten der Bestimmung von irrationalen Zahlen sind z. B. das Heronverfahren oder die Intervallschachtelung {Siehe Anhang [S. 26]}.
1.c.) Ein Sonderfall der irrationalen Zahlen sind die transzendenten Zahlen wie zum Beispiel Pi und e. Diese Transzendent ist noch um einiges Umfangreicher als die „normale“ Irrationalität, wie zum Beispiel bei √2. Transzendenz drückt aus, dass Zahlen, komplexe
Zahlen, keiner polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen. Das Gegenteil von transzendenten Zahlen sind algebraische Zahlen, diese haben Nullstellen der Gestalt:
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{Zur Transzendenz siehe auch transzendente Zahl e}
1.d.) Es gibt einen überraschenden Zusammenhang zwischen den irrationalen Zahlen Pi und e, und auch noch drei andern für die Mathematik fundamentalen Zahlen. So ergibt sich aus den Zahlen Null, das neutrale Element der Addition, Eins, das neutrale Element der Multiplikation, i, die imaginäre Einheit, e, die eulersche Zahl und natürlich Pi, die Kreiszahl, folgender Term:
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Um den Zusammenhang zu verstehen, muss man wissen, dass die Exponentialfunktion e z auch für komplexe Zahlen z anwendbar ist. Das ist sinnvoll, denn auch für komplexe Zahlen sind Summe, Produkt und Grenzwert definiert.
Hier wird dies nur für den Spezialfall benötigt, in dem z ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit ist: z = i * x mit einer reellen Zahl x. In diesem Fall kann e i * x durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus ausgedrückt werden:
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Betrachtet man nun die Reihenentwicklung von Sinus und Kosinus kommt man zu dem Beweis: Der Sinus ist bei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gleich 0, der Kosinus hat dort den Wert -1, und das heißt:
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Diese Formel geht zurück auf Leonard Euler.
1.d.) Irrationale Zahlen kann man überall anfinden, so auch schon bei den einfachsten Aufgaben, wo man es kaum erwarten würde.
Wenn man nun zum Beispiel behauptet 31/5 ist irrational, dann kann man dies beweisen,
indem man erstmal annimmt, dass es Zahlen gibt, m, n Є Ν (wobei m, n teilerfremd sind) mit:
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Daraus folgt, dass 3 Primfaktor von m 5 und damit auch Primfaktor von m, d.h.
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was ein Widerspruch zu „ m, n sind teilerfremd“ ist.
1.f.) Wie man sehen kann sind die irrationalen Zahlen sehr wichtig für die Mathematik, besonders dadurch, dass sie zusammen mit den rationalen Zahlen die komplette Zahlengrade abdecken und die reellen Zahlen ausfüllen. Weiterhin kann man, besonders an Pi und e, feststellen, dass die irrationalen Zahlen nicht nur in der Mathematik oder der Schule ein tragende Rolle spielen sondern auch im Alltag zum Vorschein kommen. Ohne dass wir es wissen, hatten wir häufig schon Strecken gezeichnet, deren Länge eine irrationale Zahl war. So zum Beispiel auch x ² = 2 (Über der Menge der rationalen zahlen ist diese Lösungsmenge leer).
Die Menge der rationalen Zahlen ist unvollständig: es gibt nicht für jede Länge eine rationale Maßzahl, deshalb sind hier auch schon die irrationalen Zahlen von Nöten.
Vor allem in der Geometrie sind diese Zahlen besonders stark vertreten, was auch durch den Satz des Pythagoras deutlich gemacht wurde.
2. Die Zahl Pi
2.a.) Will man sich über die Zahl Pi im klaren sein, so kommt man nicht daran vorbei, sich zunächst einmal einen Kreis genauer zu betrachten. Als Kreis wird grundsätzlich die Menge aller Punkte bezeichnet, die von einem Punkt M, dem Mittelpunkt, aus den gleichen Abstand r, den Radius, besitzen. Sie bilden eine geschlossene Linie, die an allen Stellen die gleiche Krümmung aufweist, wodurch der Kreis nach allen Seiten hin vollkommen symmetrisch wird. Trotz dieser vollkommenen Symmetrie, war es nie einfach, die Fläche eines Kreises zu bestimmen. Es hat sich sogar erwiesen, dass die flächengleiche Verwandlung eines Kreises in ein Quadrat mit den klassischen Hilfsmitteln, Zirkel und Lineal, unmöglich ist. Dieses Problem geisterte jahrhundertelang unter dem Namen
„Quadratur des Kreises“ durch die Mathematikergehirne. Erst 1882 konnte F. Lindemann die Transzendenz von Pi beweisen und somit den Versuch der Quadratur des Kreises beenden. (Schüler Duden Mathematik I S.34 ff.)
Ein einfaches Gedankenexperiment führt uns jedoch weiter. Zerteilt man einen Kreis (Radius r = 1), wie einen Kuchen, z.B. in 16 gleiche Stücke, so lassen sich diese, in Form eines „Monstergebisses“ aneinander gereiht darstellen. Nun kann man noch ein Stück halbieren und jeweils ein Teilstück an ein Ende legen. So ergibt sich eine Fläche von fast rechteckiger Form.
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Je feiner man den Kreis segmentiert, um so eher ähnelt diese Fläche einem Rechteck. Die Breite dieser Fläche ist der Radius des Kreises und die Länge ist die Hälfte des Kreisumfangs. Für den Einheitskreis, dem Kreis mit Radius r = 1, hat man daher aus praktischen Gründen, der Länge des Rechteckes, bzw. der Hälfte des Kreisumfangs den Namen Pi gegeben. Also ist Pi das Verhältnis zwischen dem Umfang U und dem Durchmesser d. D.h. der Umfang des Kreises ist stets das Pi - fache des Durchmessers: U
= Pi * d bzw. U = 2 * Pi * r
Bemerkenswerterweise hängt das überhaupt nicht davon ab, an welchem Kreis wir diese Rechnungen vornehmen: Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist stets gleich.
Außerdem gilt: Der Quotient aus Flächeninhalt und dem Quadrat des Radius ist konstant und für jeden Kreis gleich groß. Diese Konstante ist ebenfalls Pi. D.h. A = Pi * r²
Für den Einheitskreis ergibt sich: A = Pi * 1² = Pi
2.b.) Auch schon früher war die Zahl Pi bekannt. In einer weniger bekannten Bibelstelle (Siehe hierzu Teil 3.b.iv.) wird für Pi der Wert 3 verwendet.
Dies war nicht sehr genau, denn im klassischen Altertum waren bereits gute Näherungen der Zahl Pi bekannt. In Ägypten verwendet man um 1500 v. Chr. den Wert (1 7/9)^2 = 3.16049 Archimedes von Syrakus (287 – 212 v. Chr.) verwendete den auch noch heute geläufigen Näherungswert 22/7 = 3.14285... (auf diese Methode wird in Teil 3.c der Facharbeit noch genauer eingegangen). In China gelang Tsu Ch´ung Chi (430 – 510 n.Chr.), der Archimedes´ Arbeit vermutlich nicht kannte, eine wichtige Verbesserung für die Zahl Pi. Er stellte fest: Pi = 355/113 = 3.141593. Danach herrschte ein Jahrtausend des Schweigens. Um 1430 errechnete Al'Kashi 14 Stellen, Vieta erlangte 1579 durch Betrachtung eines eingeschriebenen 2^16-Ecks neun Stellen, Ludolph van Ceulen 1610 durch ein 2^62-Eck 35 Dezimalen. Dank der Ausarbeitung der Analysis durch Pioniere wie Isaac Newton und Leonhard Euler wurden bessere Näherungswerte von Pi gefunden, die freilich immer in mühsamer Handarbeit errechnet werden mussten. Euler (1707 - 1783), der erstmals den griechischen Buchstaben Pi verwendete (von perimetros, dt. Umfang), schaffte so mittels Bleistift und Papier in einer Stunde 20 Dezimalen von Pi. 1853 veröffentlichte William Shanks 707 Stellen der Zahl Pi. Erst 1945 fand ein F.D. Ferguson mittels einer Tischrechenmaschine heraus, dass sich Shanks gründlich verrechnet hatte: von den 707 Stellen waren nur die ersten 527 richtig. Zynische Geister munkeln, dass Shanks seine Berechnung noch verschönen wollte und einfach einige hundert fingierte Dezimalen willkürlich anhängte.(Klaus Fitzsche, Mathematik für Einsteiger S.166 ff.) Im Jahre 1948, also vor nicht einmal 50 Jahren, kannte die Welt immer noch nicht mehr als 808 Stellen. Die weitere Geschichte zur Berechnung der Zahl Pi ist von der Entwicklung und vom Einsatz elektronischer Rechenanlagen geprägt. 1949 berechnete eine Maschine namens ENIAC über 2000 Dezimalen und benötigte dafür 70 Stunden; 1959: 10 000 Stellen; 1961:
100 265 (IBM 7090, 8 Stunden Rechenzeit); 1967: 500 000; 1983: 8 388 608 Stellen
(HITAC M280H in 6.8 Stunden); 1986: 29 000 000 mit einer Cray; 1987: 133 554 000;
1989 wurde die Milliardengrenze überschritten: 1 073 740 000 Dezimalen; 1997 segnete
uns Yasumasa Kanada mit 51 539 600 000 Nachkommastellen (Rechendauer: 29 Stunden). (David Blatner, Pi, die Magie einer Zahl)
Doch was bedeuten schon Milliarden angesichts der Unendlichkeit ...
2.c Bestimmung der Konstanten Pi:
Liegt ein n-Eck zugrunde, so erhält man durch Intervallschachtelung:
F(n,innen) < F(k) < F(n,außen) [Als F wird im weiteren Verlauf immer der Flächeninhalt bezeichnet]
Das n-Eck ist ein regelmäßiges Vieleck. Daher kann zur Berechnung der Fläche das Bestimmungsdreieck herangezogen werden. Um die Berechnung einfacher zu gestalten, wird der Einheitskreis (r = 1) verwendet. Die Fläche des inneren und des äußeren Dreiecks ist:
F(i,n) = n * ½ * s(i) * h(i) und F(a,n) = n * ½ * s(a) * h(a)
Dabei gilt, h(a) = r = 1, da die Seite s(a) eine Tangente zu dem Kreis ist. Nach dem Strahlensatz gilt: s(a) / s(i) = h(a) / h(i) = r / h(i) = 1 / h(i)
Durch Umformung erhält man: s(a) = 1 / h(i) *s(i) und h(a) = r Damit kann das äußere Dreieck umgerechnet werden zu:
F(a,n) = n * ½ * 1 / h(i) * s(i) * r = n * ½ *1 / h(i) * s(i) ( r = 1 )
Die Strecken s(i) und h(i) sind nur abhängig von der Zahl n des n-Ecks. Da die Größen des äußeren Dreiecks nicht mehr auftreten wird s(i) in s(n) und h(i) in h(n) umbenannt.
F(i,n) = n * ½ *s(n) * h(n) und F(a,n) = n * ½ *s(n) * 1 / h(n)
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Thema dieser Facharbeit?
Diese Facharbeit behandelt irrationale Zahlen, insbesondere die Zahlen Pi und e. Sie untersucht die Eigenschaften, die Geschichte und die Bedeutung dieser Zahlen in der Mathematik.
Was sind irrationale Zahlen?
Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Ihre Dezimaldarstellung ist weder endlich noch periodisch. Beispiele sind √2, π und e.
Wie wird in der Arbeit die Existenz irrationaler Zahlen bewiesen?
Die Arbeit verwendet den Satz des Pythagoras, um die Irrationalität von √2 zu beweisen. Ein rechtwinkliges Dreieck mit gleich langen Katheten (Länge 1) hat eine Hypotenuse der Länge √2, welche irrational ist.
Was sind transzendente Zahlen?
Transzendente Zahlen sind ein Sonderfall irrationaler Zahlen, die keine Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind. Beispiele sind π und e. Sie sind "noch irrationaler" als algebraische irrationale Zahlen wie √2.
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Pi, e und anderen fundamentalen Zahlen?
Die Arbeit zeigt die Eulersche Identität e^(iπ) + 1 = 0, die einen überraschenden Zusammenhang zwischen den Zahlen Null, Eins, i (imaginäre Einheit), e (Eulersche Zahl) und π (Kreiszahl) herstellt.
Wie wird die Zahl Pi in der Arbeit definiert?
Pi wird als das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser definiert (U = π * d). Es wird auch als der Quotient aus Flächeninhalt und dem Quadrat des Radius definiert (A = π * r²).
Welche historischen Näherungen für Pi werden in der Arbeit erwähnt?
Die Arbeit erwähnt frühe Näherungen für Pi, darunter den Wert 3 (aus der Bibel), (1 7/9)^2 (Ägypten), 22/7 (Archimedes) und 355/113 (Tsu Ch´ung Chi).
Wie wurden genauere Werte für Pi im Laufe der Geschichte berechnet?
Die Arbeit beschreibt, wie im Laufe der Geschichte immer genauere Werte von Pi berechnet wurden, zunächst durch geometrische Methoden (z.B. Annäherung durch Vielecke), später durch analytische Methoden (Analysis) und schließlich mit Hilfe von Computern.
Wie wird in der Arbeit die Bestimmung von Pi durch Intervallschachtelung erklärt?
Die Arbeit erklärt, wie Pi durch Intervallschachtelung mit ein- und umbeschriebenen n-Ecken an einem Kreis genähert werden kann. Der Flächeninhalt des Kreises liegt zwischen den Flächeninhalten des inneren und äußeren n-Ecks.
Was ist die Bedeutung irrationaler Zahlen?
Irrationale Zahlen sind essentiell für die Vollständigkeit der Zahlengerade. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die reellen Zahlen. Sie sind besonders wichtig in der Geometrie, wie der Satz des Pythagoras zeigt.
- Arbeit zitieren
- Harry Klein (Autor:in), 2002, Irrationale Zahlen am Beispiel Pi und e, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/106864
