Inhalt:
I. Abweichungsmaße
- Geschichtliche Aspekte
- Begriffe: Definition
- Bedeutung
II. Anwendung
- Works
- Beispielaufgabe
Einfache Formen der Statistik gab es schon auf frühen Stufen der Zivilisation. So benutzten die Babylonier schon 3000 v. Chr. kleine Tontafeln für tabellarische Aufstellungen von landwirtschaftlichen Erträgen und von getauschten oder verkauften Waren. Um auf die Gegebenheiten richtig reagieren zu können, ist eine Bewertung der Daten nötig.
Die Statistik ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Sammlung, Zusammenstellung und Analyse von Zahlenmaterial – den statistischen Daten – für wissenschaftliche, soziale, politische und wirtschaftliche Zwecke beschäftigt. Zur Bewertung dienen die Abweichungsmaße.
I. Die Abweichungsmaße:
- Spannweite -
Berechnung:
R=XMax - XMin
Definition:
Differenz vom größten zum kleinsten Wert
Bedeutung: Kann zur besseren Einschätzung von Datensätzen kleineren Umfangs dienen: Eine Klassenarbeit hat einen Durchschnitt von 2.0 aber eine Spannweite von 4, daraus kann man erschließen, daß trotz des guten Durchschnitts wenige schlechte Noten vorhanden sein müssen. (Bsp.: Note 1 x 3 Note 5 x 1)
- Empirische Streuung -
Häufig hat man mit der empirischen Streuung oder Varianz einer Verteilung zu tun, also damit, ob sich die Werte um einen Mittelwert häufen oder ob sie mehr oder weniger gleichmäßig über das ganze Spektrum verstreut sind.
Berechnung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Definition:
Gewichtete Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.
Bedeutung:
Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert. In vielen Fällen reicht der Mittelwert zur Charakterisierung der Abweichung nicht aus.
Die Streuung wird auch als gewichtete Summe der Abweichungsquadrate bezeichnet.
ÞDurch das Quadrieren jeder einzelnen Differenz des Mittelwertes vom Einzelwert werden die Extremwerte stärker gewichtet.
Beispiel:* Bei der Produktion von Bolzen z.B. ist der Durchmesser ein wichtiges Maß. Bei der
Einrichtung der Maschine ist ihr Mittelwert dem Sollmaß gleich. Während der Produktion stellt sich aber heraus, daß viele Durchmesser größer bzw. kleiner als das Sollmaß sind; bei gleichem Mittelwert können nun sogar bei der einen Maschine die Abweichungen groß und bei der anderen klein sein. Sie müssen aber innerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Zu ihrer Beschreibung wird die Streuung oder Varianz genutzt.
Erstmalig wurde dieses Verfahren von Carl Friedrich Gauß (geb. 1777, gest. 1855), einem deutschen Gelehrten, der bahnbrechend Erkenntnisse in Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie herausstellte, angewandt. Er erfand mit Weber den elektromagnetischen Telegraphen, entwickelte die moderne Zahlentheorie, Algebra und Analyse sowie Funktionstheorie, und Methoden zur Berechnung von Planetenbahnen und führte das absolute Maßsystem ein.
- Empirische Standardabweichung -
Berechnung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Definition:
Mittlere Quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert.
Bedeutung:
Maßzahl zur Charakterisierung der Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert. Die Bedeutung gleicht wie die Berechnung größtenteils der der Varianz. Der Unterschied ist lediglich, daß bei der Standardabweichung durch das Wurzelziehen aus der Summe der Abweichungsquadrate Extremwerte weniger stark gewichtet werden. Ist die Standardabweichung gering, so häufen sich die Messungen um den Mittelwert; ist sie groß, so sind sie weit verstreut.
Als Beispiel kann man sich eine Aufgabe vorstellen, in der die extrem Abweichungen von Interesse, aber nicht unbedingt Ausschlaggebend sind.
II. Anwendung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Spannweite:
Für die Spannweite existiert in WORKS keine Konkrete Funktion.
Allerdings kann man mit Hilfe der Funktionen MAX(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...) und MIN(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...), den größten bzw. kleinsten Wert eines Bereichsbezuges ausgeben lassen und daraus die Differenz bilden.
Empirische Streuung:
Funktion: VARIANZ(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)
Anwendung:
- VARIANZ ins Eingabefeld eingeben.
- Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)
Empirische Standardabweichung:
Funktion: STABW(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...)
Die Funktion liefert als Ergebnis die Standardabweichung einer Grundmenge basierend auf einem, in Bereichsbezügen angegebenen, Musters.
Anwendung:
- STABW ins Eingabefeld eingeben.
- Durch Semikolon getrennte Argumente in Klammern Setzen (von der ersten zur letzten Zelle)
Martin Behrens
Quellen: *Mathematik(1969), Lexikon Mathematik(1979) -VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Microsoft Encarta`97, WORKS4.0
Häufig gestellte Fragen
Was sind Abweichungsmaße laut diesem Text?
Abweichungsmaße sind statistische Werkzeuge, die zur Bewertung von Daten verwendet werden, insbesondere um die Streuung oder Variation von Werten um einen Mittelwert zu beschreiben.
Welche Abweichungsmaße werden in diesem Dokument behandelt?
Das Dokument behandelt die Spannweite, die empirische Streuung (Varianz) und die empirische Standardabweichung.
Wie wird die Spannweite berechnet und was ist ihre Bedeutung?
Die Spannweite wird berechnet als die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert in einem Datensatz (R = XMax - XMin). Sie kann zur Einschätzung von Datensätzen kleineren Umfangs dienen, um extreme Werte zu identifizieren.
Wie wird die empirische Streuung (Varianz) berechnet und was ist ihre Bedeutung?
Die empirische Streuung ist die gewichtete quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert. Sie charakterisiert die Ausbreitung der Verteilung der Werte um einen Mittelwert. Eine höhere Varianz bedeutet eine größere Streuung der Werte.
Wie wird die empirische Standardabweichung berechnet und was ist ihre Bedeutung?
Die empirische Standardabweichung ist die mittlere quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert. Sie ist die Wurzel aus der Varianz und gibt ebenfalls Auskunft über die Streuung der Werte um den Mittelwert. Extremwerte werden durch die Wurzelziehung weniger stark gewichtet.
Wie können die genannten Abweichungsmaße in Microsoft Works berechnet werden?
- Spannweite: Es gibt keine direkte Funktion. Man kann MAX(BEREICHSBEZUG) und MIN(BEREICHSBEZUG) verwenden, um den größten und kleinsten Wert zu ermitteln und dann die Differenz berechnen.
- Empirische Streuung (Varianz): Die Funktion VARIANZ(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...) wird verwendet.
- Empirische Standardabweichung: Die Funktion STABW(BEREICHSBEZUG 0; BEREICHSBEZUG 1; ...) wird verwendet.
Wer war Carl Friedrich Gauß und in welchem Zusammenhang steht er zur empirischen Streuung?
Carl Friedrich Gauß war ein deutscher Gelehrter, der bahnbrechende Erkenntnisse in Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie herausstellte. Er hat dieses Verfahren (der empirischen Streuung) erstmalig angewandt.
Was ist der Unterschied zwischen empirischer Streuung und empirischer Standardabweichung?
Die empirische Streuung (Varianz) ist die gewichtete Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, während die empirische Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz ist. Die Standardabweichung gewichtet Extremwerte weniger stark.
Welche Quellen wurden für diesen Text verwendet?
Als Quellen werden "Mathematik(1969)", "Lexikon Mathematik(1979) -VEB Bibliographisches Institut Leipzig", Microsoft Encarta`97 und WORKS4.0 genannt.
- Arbeit zitieren
- M B (Autor:in), 1998, Abweichungsmaße, München, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/103664
