Eignet sich die Einspluseins-Tafel als Darstellung zum Erkennen, Beschreiben und Begründen von Zahlbeziehungen? Hilft die Orientierung auf der Tafel und das Verinnerlichen der „einfachen“ Aufgaben bei der Berechnung von Aufgaben mit Zehnerübergang? Vorab werden die Darstellungs- und Anschauungsmittel im Mathematikunterricht erklärt, deren Funktion beschrieben und curricular verortet.
Im Anschluss wird der Lerngegenstand, die Einspluseins-Tafel, die auch als Hilfsmittel zum Rechnen dient, analysiert, deren Bedeutung dargestellt und einem Beispiel aus dem MiniMax1 näher beschrieben. Zum Schluss soll ein Fazit in Bezug auf die Fragestellungen aufgestellt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Darstellungs- und Anschauungsmittel
3. Darstellungsmittel des kleinen 1+1
3.1. Grundaufgaben
3.2. Analyse der Einspluseins-Tafel
3.3. Analyse einer Beispielaufgabe
4. Fazit
5. Literaturverzeichnis
Anmerkung der Redaktion: Der Anhang wurde aus urheberrechtlichen Gründen entfernt.
1. Einleitung
Die Mathematik bietet vielfältige Anlässe zum Erforschen und Entdecken. Es wird gefordert Beziehungen zu erkennen, über sie zu sprechen und diese zu verinnerlichen. Dabei ist die häufigste Form des Austausches die Sprache. Dennoch ist es für Kinder sehr schwierig passende Wörter zur Beschreibung der eigenen Handlung oder Gedanken zu neuen Entdeckungen zu finden und zu formulieren. Dabei reicht der aktive Wortschatz oft nicht aus, um Zusammenhänge zu beschreiben. Selbst Gestikulation reicht häufig nicht aus.
Umso wichtiger erscheinen die nonverbalen Hilfsmittel bzw. Darstellungs- und Anschauungsmittel. Sie helfen dabei Handlungen zu verkürzen. Außerdem wirken sie der Flüchtigkeit von Sprache und Handlungen entgegen, indem sie diese sichtbar machen. Zudem sind sie ein wichtiges Hilfsmittel, um Zahl- und Operationsvorstellungen zu entwickeln.
Diese sollen nicht nur vorläufig von den Schülerinnen und Schülern (SuS) verwendet werden und dessen Gebrauch als Lernschwäche empfinden. Stattdessen ist es notwendig einen natürlichen Umgang damit zu finden.
Zusätzlich bieten die Darstellungs- und Anschauungsmittel eine Hilfestellung zum Erfassen von Rechenoperationen und veranschaulichen Zahlenbeziehungen, die als Rechenhilfsmittel dienen (Quelle).
Diese Funktion soll in Bezug auf die Einspluseins-Tafel im Zahlenraum bis 20 in der vorliegenden Arbeit ausgearbeitet werden. Vorab werden die Darstellungs- und Anschauungsmittel im Mathematikunterricht erklärt, deren Funktion beschrieben und curricular verortet.
Im Anschluss wird der Lerngegenstand, die Einspluseins-Tafel, die auch als Hilfsmittel zum Rechnen dient, analysiert, dessen Bedeutung dargestellt und einem Beispiel aus dem MiniMax1 näher beschrieben.
Zum Schluss soll ein Fazit in Bezug auf folgende Fragestellung aufgestellt werden. Eignet sich die Einspluseins-Tafel als Darstellung zum Erkennen, Beschreiben und Begründen von Zahlbeziehungen? Hilft die Orientierung auf der Tafel und das Verinnerlichen der „einfachen" Aufgaben bei der Berechnung von Aufgaben mit Zehnerübergang?
2. Darstellungs- und Anschauungsmittel
„Unter den verschiedenen Repräsentationsmodalitäten im Denken des Kindes stellt die Visualisierung nicht nur eine mögliche Form neben der Sprache, sondern das Hauptmedium dar. Die visuellen Vorstellungsbilder können durch Anschauungsmittel unterstützt, aber nicht bestimmt werden.“ (Lorenz 1992, S. 83)
In diesem Abschnitt werden die Bedeutung und die Funktion von Darstellungs- und Anschauungsmittel für den Erwerb des Zahlenbegriffs und spezifischer die Bedeutung für Rechenoperationen beschrieben. Deren Arten, Vorteile und Nachteile für den ArithmetikUnterricht der Grundschule wurden ausführlich in dem Seminar besprochen, sodass hier keine weitere Ausführung aufgezeigt wird. In dieser Arbeit handelt es sich generell um die Darstellungs- und Anschauungsmittel und ist von den Arbeitsmitteln, die auf der enaktiven Handlungsebene eingesetzt und taktil wahrgenommen werden, zu unterscheiden. Die sinnvolle Nutzung dieser kann bei Radatz et al. 1996 (S. 35-46) nachgelesen werden.
Darstellungs- und Anschauungsmittel sind Medien, die mathematische Objekte, Handlungen bzw. Operationen darstellen und die Komeptenz des Rechnens, Argumentierens und Beweisens unterstützen und fördern (vgl. Krauthausen; Scherer 2003, S. 226-230; Schipper 2009, S. 288-303). SuS setzen sich mit mathematischen Inhalten auseinander und sind gleichzeitig gefordert Strukturen und Muster selbstständig zu erkennen, zu beschreiben und zu begründen.
Es werden häufig durch die visuelle Hervorhebung Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten erkannt, die im Prozess des Entdeckens sehr hilfreich sind (vgl. Käpnick 2014, S. 157). Dadurch wird die Aufmerksamkeit der Kinder auf das Wesentliche und die zentralen Aspekte gerichtet. Demnach dienen sie als epistemologisches Werkzeug und methodisches Hilfsmittel beim Prozess des Lernens und Lösen, der vom Betrachten über das Beobachten hin zum Erkennen reicht (Schipper 2003, S. 225).
Dazu fehlen den Kindern beschreibende Worte und Fachbegriffe, sodass sie ihre Entdeckungen oder Handlungen auf dem nonverbalen Weg ausdrücken oder selbst Darstellungen zeichnen können bzw. müssen. Durch Darstellungs- und Anschauungsmittel werden leichter Beziehungen und Zusammenhänge erkannt, nachvollzogen und begründet, sodass sie als Argumentations- und Reflexionshilfen fungieren (vgl. Schipper 2009, S. 288ff.). Umso wichtiger ist die Fähigkeit damit zu kommunizieren, um die eigenen Entdeckungen mitteilen zu können (vgl. ebd.).
Um Verständnishürden zu meistern, ist es entscheidend, dass SuS verschiedene Repräsentationsformen für Zahl, sowie Zahl- und Rechenbeziehungen erlernen und diese sinnvoll verknüpfen können. Hierfür bietet es sich an Handlungen zuerst auf der enaktiven, dann auf der ikonischen bis hin zur abstrakt-symbolischen Ebene zu erarbeiten, und diese sprachsensibel zu begleiten (vgl. Wittmann 2005, S. 87). In dieser Ausarbeitung geht es grundlegend um den wechselseitigen Repräsentationswechsel der beiden zuletzt genannten Ebenen.
Der Umgang mit den Darstellungs- und Anschauungsmitteln trägt zur Verbesserung mehrerer prozessbezogenen Kompetenzen (Mathematisches Kommunizieren, Argumentieren und Darstellen) bei (vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2017, S. 7f.). Die SuS erstellen und nutzen mathematische Darstellungen zum Lösen einer Aufgabe, können diese auch für die Präsentation ihrer Ergebnisse nutzen und ihre eigene Vorgehensweise beschreiben(vgl. ebd., S. 7, 24). Dazu fördert es die mathematische Kompetenz, das Argumentieren, indem Zusammenhänge erkannt und Rechenwege, Handlungen oder Lösungen begründet werden (vgl. ebd., S: 7f.).
Darstellungs- und Anschauungsmittel, wie z.B. Wendeplättchen oder Zahlenstrahl, werden vielfach negativ als „Hilfsmittel" besetzt. Ihre Nutzung wird oft als Zeichen von Lernschwäche interpretiert („Die Plättchen können dir helfen!") und sie führt zuweilen zur Abwertung von erbrachten Leistungen („Du hast den Zahlenstrahl als Hilfe verwendet!").
Daher ist es wichtig, den Umgang mit Darstellungsmitteln positiv zu besetzen und den Begriff „Hilfsmittel" durch „Forschermittel" zu ersetzen. Zudem muss den Kindern die Relevanz von Forschermitteln deutlich werden. Das kann sehr verschieden ablaufen, beispielweise wird im Unterricht sehr viel über die Handlung, bildliche oder symbolische Darstellung gesprochen, beschrieben und über ihre Funktionen reflektiert.
Es ist abzusehen, dass nicht alle SuS gleichermaßen geschickt damit umgehen können oder gar Erkenntnisse daraus ziehen können. An dieser Stelle wird deutlich, dass der Lernprozess vom Beobachten und Erkennen, zum Handeln und Verinnerlichen mathematischer Sachverhalte sehr individuell ist.
Somit ist auch das Ablösen von Darstellungs- und Anschauungsmittel, seien es die eigenen Hände als Hilfsmittel, abhängig von der Entwicklung von mathematischen Vorstellungsbildern. Die Lehrkraft kann mit dem „richtigen“ Einsatz von Darstellungsmitteln verstärkt an der Entwicklung von Vorstellungsbildern zur Zahl- und Operationsvorstellung arbeiten, sodass mit Hilfe individueller Zugänge wohlmöglich Rechenschwierigkeiten vorgebeugt werden.
Um eine nachhaltige Zahl- und Operationsvorstellung aufzubauen muss nicht nur gerechnet, sondern auch entdeckt, begründet und beschrieben, werden. Das Auswendiglernen von Aufgaben des kleinen 1+1 bedeutet nicht gleich das Verständnis und die Kompetenz des Beschreiben von eigenen Handlungen oder Zahlbeziehungen.
3. Darstellungsmittel des kleinen 1+1
Aufbauend auf den Vorkenntnissen der SuS wird die Zahl- und Operationsvorstellung im Anfangsunterricht Mathematik anhand der Aufgaben des kleinen Eins-plus-eins entwickelt. Das zentrale Rahmenthema „Einspluseins“ wird als inhaltlicher Kern der elementaren Mathematik durch das Spiralprinzip vertieft. Durch erste Erfahrungen, Beobachtungen, Handlungen und Reflektionen von Mengen lösen sich die SuS vom Abzählen, bündeln in Päckchen (z.B. 5er), bauen Strukturen und Muster auf und entwickeln innere Bilder, die ihnen helfen das Ergebnis zu berechnen. Die Struktur wird in mehreren Durchgängen in jeweils anderen Kontexten behandelt, sodass die SuS ein entsprechendes Wissen aufbauen, Wissenslücken aufarbeiten sowie langsame und schnelle Kinder gemeinsam aktiv werden können.
Demnach werden zuerst die Grundaufgaben erklärt und deren Bedeutung aufgezeigt. Eine umfassende Darstellung der Grundaufgaben - die Einspluseins-Tafel - wird nach Wittmann und Müller dargelegt. Es wird ihr Aufbau beschrieben und ihre Funktion für die Zahl- und Operationsvorstellung reflektiert und an einer Beispielaufgabe näher betrachtet
3.1. Grundaufgaben
Das Beherrschen des kleinen Einspluseins und des kleinen Einsminuseins ist eine entscheidende Grundlage für das erfolgreiche Durchführen von halbschriftlichen und schriftlichen Rechenverfahren. Demnach ist es ein wichtiges Ziel, dass die SuS die Grundaufgaben auswendig wissen.
Zum kleinen Einspluseins und den dazugehörigen Grundaufgaben gehören alle Aufgaben der Form a + b = c mit den natürlichen Zahlen a < 10 und b < 10, wobei der Wert für c nicht größer als 20 sein kann. Folglich gibt es 121 Grundaufgaben der Addition, wobei die Tauschaufgaben miteingeschlossen sind und nur der Aufgabentyp a + b = x (unbekanntes Ergebnis) betrachtet wird (vgl. Radatz, Schipper et al. 1996, S. 77f.).
Zunächst müssen alle Rechenoperationen, in dem Fall die Addition, als Lernprozesse handelnd mit gestütztem Material verinnerlicht werden, um dann das mathematische Verständnis und die folgenden heuristischen Strategien darauf aufbauen zu können (vgl. Radatz, Schipper 1983, S. 70).
Die Grundaufgaben werden unter der inhaltsbezogenen Kompetenz Zahlen und Operationen verortet (vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2017, S. 29). Am Ende der zweiten Klassenstufe sollen die Aufgaben des kleinen 1+1 und deren Tauschaufgaben verinnerlicht und automatisiert werden, sodass diese wiedergegeben oder Ergebnisse weitere Aufgaben ermittelt werdenkönnen (vgl. ebd.).
Es ist wichtig, dass den Kindern bei der Erarbeitung der Grundaufgaben nicht vorzeitig die Möglichkeit, auf der handelnden und ikonischen Ebene zu agieren, genommen wird. Dabei können die SuS die Aufgaben mit zeichnerischen Hilfsmitteln oder mit der Benutzung von Material wie Steckwürfel, Rechenplättchen usw. lösen. Der Einsatz von Material veranschaulicht den Gebrauch von geeigneten Lösungsstrategien, was sehr bedeutsam für das Verständnis ist. Dennoch gibt es kein „perfektes" Material, dass allen SuS gleichermaßen hilft.
3.2. Analyse der Einspluseins-Tafel
Die Einspluseins-Tafel veranschaulicht neben den Additionsaufgaben mit Summanden 0 bis 10 komplexe mathematische Zusammenhänge und Strukturen, sodass ein strukturierter Arbeitsplan bzw. Aufgabe und gelenkte Lehrer-Schüler/innen-Gespräche notwendig sind, um ein längerfristiges Verständnis aufzubauen. Ich habe beobachtet, dass die EinspluseinsTafel in Arbeitsheften für das operative Üben vorkommt ohne sie vorher als Lerngegenstand behandelt zu haben. Vorbereitend muss jede angegebene Aufgabenfolge in einer eigenen Einspluseins-Tafel markiert werden, damit sich die SuS orientieren können. So habe ich mich entschieden die Tafel als Lerngegenstand und Rechenhilfsmittel zu analysieren.
Zunächst möchte ich die Darstellungsweise der Grundaufgaben auf einer Einspluseins-Tafel analysieren und als Lernhilfsmittel für die Grundaufgaben bewerten. Es soll den Kindern eine bessere Vorstellung im Zahlenraum bis 20 und den Rechenoperationen ermöglichen und folglich durch die Kenntnis von Zahlbeziehungen und den Erwerb von Rechenstrategien die Ablösung von Rechenhilfsmitteln unterstützen.
Zahlbeziehungen - z.B. Nachbarszahlen können bereits im ersten Schuljahr für Schülerinnen und Schüler beim Rechnen vorteilhaft sein (vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2017, S. 40). Diese helfen auch bei dem Verständnis von Aufgabenbeziehungen an der Einspluseins-Tafel mit 121 Feldern entsprechend der Anzahl der Grundaufgaben, wobei die Ergänzungsaufgaben ausgeschlossen werden.
Vorab muss erwähnt werden, dass es bereits unterschiedliche Darstellungen der Tafel gibt. Ausgehend von der rautenförmigen Tafel vom Klett Verlag, die häufig in den Klassenräumen der ersten Klassen zu sehen ist und die Additionsaufgaben abbildet, wird eine Analyse der Darstellung vorgenommen. Die Beispielaufgaben zeigen eine quadratische Darstellung der Tafel mit den Ergebnissen, sodass zum Schluss ein möglicher Vergleich gezogen werden kann.
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