Versuchsvorbereitung von Oliver Fischer
Emission, Absorption und Re exion elektromagnetischer Strahlung Das Plancksche Strahlungsgesetz
Die spektrale Strahlungsdichte eines schwarzen Strahlers berechnet sich zu
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[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist die Leistung, die durch elektromagnetische Wellen mit einer Wellenlänge zwischen und + d abgestrahlt wird.
Das Wiensche Verschiebungsgesetz
Durch nullsetzten der ersten Ableitung des Planckschen Strahlunggesetzes nach erhält man das Maximum der Strahlungsdichte in Abhängigkeit von der Temperatur.
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Das Maximum der Strahlungsdichte verschiebt sich also für höhere Temperaturen zu kleineren Wellenlängen. Diese Tatsache wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. Durch die Messung der Wellenlänge, bei der ein Körper die meiste Energie abstrahlt, kann so seine (Ober ächen-)Temperatur bestimmt werden.
Das Beersche Absorptionsgesetz
Wenn Licht auf Materie tri t, wird es teilweise re ektiert und teilweise absorbiert. Bei einer auftre enden Strahlungsleistung P0 und einem Re ektionsfaktor R dringt eine Strahlungs- leistung von P0(1 R) in das Medium ein, die umso mehr abgeschwächt wird, je weiter sie in das Medium eindringt. Nach zurückgelegtem Weg x im Medium beträgt die Strahlung- leistung
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mit Absorptionskoe zient , der von der Wellenlänge der einfallenden Strahlung und von der Art des absorbierenden Mediums abhängt, jedoch nicht von x.
Re exion an der Grenz äche zweier Medien
Der re ektierte Anteil einer eingestrahlten Lichtleistung beim Übergangvon von einem Medium mit Brechungsindex n1 in ein anderes mit Brechungsindex n2 berechnet sich bei senkrechtem Lichteinfall zu
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Die Brechzahl von GaAs bei einer Wellenlänge von 900 nm ist 3.59. Der re ektierte Anteil von Licht der Wellenlänge 900 nm beim Übergang von Luft (nLuf t 1) zu GaAs beträgt demnach ca. 0.32.
Fabry-Perot-Oszillationen
Fabry-Perot-Oszillationen sind Mehrfachre exionen, die beim Durchgang von Licht durch eine Schicht der Dicke d auftreten können. Bei einer Schicht bzw. Platte mit ebenen zuei- nender parallelen Seiten, bei der Licht auf die Vorderseite auftri t, kann der transmittierte Anteil nochmals an der Rückseite teilweise re ektiert werden, dieser re ektierte Anteil wird wiederum an der Vorderseite teilweise re ektiert und teilweise transmittiert usw. Die an der Vorderseite re ektierten bzw. an der Rückseite transmittierten Anteile sind jeweils zueinander parallel und phasenverschoben. Sie unterliegen ausserdem einer Schwächung, d.h. mit zunehmender Anzahl der Re exionen nimmt ihre Intensität ab.
Aus diesen Oszillationen läÿt sich nun auf folgende Weise die Dicke der für die Resonanz verantwortlichen Schicht ableiten. Die genannte Phasenverschiebung hängt von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts und von der Dicke der Platte ab. Die transmittierten Lichtstrahlen können bei genügend groÿer Koherenzlänge des eingestrahlten Lichts konstruktiv oder destruktiv interferieren. Nach G. B. Airy gilt
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mit transmittierter/re ektierter Intensität It, Ir und Kreiswellenzahl[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]wobei die Wellenlänge in der Platte gegeben ist durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (n ist der Brechungsindex der Platte,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Wellenlänge des verwendeten Lichts im Vakuum).
Für kd = N (N=1,2,3...) ist die transmittierte geich der eingestrahlten Intensität.
Mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]folgt:
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Bestimmt man nun aus einen Transmissionsspektrum die Wellenlängen N und N +1, die zwei benachbarte Intensitätsmaxima ergeben, ergibt sich mit
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die Dicke der Platte
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Da die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, erhält man nur für nah beieinander liegende Maxima gute Resultate.
Das Bändermodell des Festkörpers Bandaufspaltung der Elektronenenergie
Die gebundenen Elektronen eines einzelnen Atoms können verschiedene diskrete Energiezu- stände einnehmen. In einem Festkörper kann jedoch infolge des relativ geringen zwischena- tomaren Abstands ein Elektron nicht mehr nur im Potential eines einzelnen Atomrumpfes betrachtet werden, es wird dem gesamten Kristall zugeordnet .Da nach dem Pauli-Prinzip keine zwei Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen können, spalten die ener- giegleichen Niveaus der Einzelatome bei der gedachten Annäherung der Atome zu Ener- giebändern auf. Die entstehenden Energieniveaus sind zwar immer noch diskret, können aber wegen der groÿen Anzahl von Elektronen im Kristall als quasi-kontinuierlich auf die Energieskala verteilt betrachtet werden.
Bei dieser Betrachtungsweise der Elektronen im Festkörper berücksichtigt man im allge- meinen nur das oberste (bei einer Temperatur von 0 K) vollbesetzte Band, das Valenzband, und das darüber folgende erste unbesetzte Band, das Leitungsband. Welche Eigenschaf- ten - isolierend, leitend, halbleitend - dem betrachteten Material zugeschrieben werden hängt von der Gröÿe der Bandlücke - dem Abstand zwischen Valenzbandoberkante und Leitungsbandunterkante - ab. Beträgt dieser Abstand ca. 1 eV, ist der Kristall halbleitend, da wenig thermische Energie nötig ist, um Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband zu heben. Bei metallischen Leitern ist dieser verbotene Bereich nicht vorhanden, Valenz- und Leitungsband sind zu einem einzigen, teilweise besetztem Band vereinigt. Bei Isolato- ren ist die Bandlücke gröÿer als bei Halbleitern, es besteht also kein prinzipieller sondern nur ein quantitativer Unterschied zwischen Isolatoren und Halbleitern.
Die Fermi-Verteilung
Da ein Energiezustand immer nur von maximal 2 Elektronen besetzt wird, können sich bei T=0 K nicht alle Elektronen des Kristalls im niedrigsten Energiezustand be nden. Die Energieterme werden sukzessive bis zu einer oberen Grenze, dem Fermi-Niveau[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], aufgefüllt. Für die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus E durch ein Elektron
gilt deshalb bei T=0 K:
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Bei Temperaturen T>0 K können Niveaus mit höherer Energie als E0F besetzt werden, und entsprechend Niveaus, die unterhalb der Fermi-Energie liegen unbesetzt bleiben. Die Verteilungsfunktion für T>0 K lautet:
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mit k Boltzmannkonstante, µ chemisches Potential der Elektronen.
Zustandsdichte
Die Zustandsdichte D(E) gibt die Anzahl der verfügbaren Zustände pro Energie- und Volumeneinheit an, die ein Elektron einnehmen kann. Die Zustandsdichte eines 2-dimensionalen Systems berechnet sich wie folgt.
Die Anzahl der Zustände im k-Raum in Abhängigkeit vom Maximalwert k ist
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Für die E(k)-Abhängigkeit wird im Bereich der geringsten Energiedi erenz zwischen Leitungs- und Valenzband eine quadratische Näherung angesetzt.
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mit der e ektiven Masse m , die durch
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de niert ist. Somit ergibt sich dann mit
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die Zustandsdichte
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Bandübergänge und Absorption
Durch die Absorption eines Photons kann ein Elektron aus dem Valenzband ins Leitungs- band gehoben werden, es entsteht ein Elektron-Loch-Paar. Dieser Übergang kann direkt erfolgen, oder unter Beteiligung eines dritten Partners, man spricht dann von einem indirek- ten Übergang. Welche Art von Elektronenübergang statt ndet hängt in erster Linie von der Bandstruktur des Halbleiters ab. Für einen Bandübergang muss neben der Energie auch der Impuls erhalten sein. Folgende Überlegungen gehen davon aus, dass ein Elektronen- übergang an der Stelle mit der geringsten Energiedi erenz von Leitungsbandunterkante und Valenzbandoberkante statt ndet. Die Impulserhaltung entspricht der Erhaltung der Wel- lenzahl k. In einem Halbleiter, in dem das Energie-Maximum des Valenzbandes im k-Raum direkt unter dem Minimum des Leitungsbandes liegt, kann ein direkter Übergang erfolgen. Wenn jedoch Leitungsbandminimum und Valenzbandmaximum im k-Raum gegeneinander verschoben sind, muss ein dritter Partner eine Änderung des k-Werts des Elektrons ver- ursachen, der Impuls des absorbierten Photons ist dafür zu klein. Dafür in Frage kommen Phononen (Gitterschwingungsquanten) oder Exzitonen (gebundene Elektron-Loch Paare).
Dotierung von Halbleitern
Wenn das Kristallgitter eines Halbleiters durch Fremdatome verunreinigt ist, die ein Elek- tron in der Valenzschale mehr besitzen, als zur Ausbildung der Kristallbindung mit den Atomen des Halbleiters nötig ist, kann dieses Elektron leicht vom Fremdatom gelöst und ins Leitungsband gehoben werden. Zurück bleibt ein einfach positiv geladener Atomrumpf. Dotiert man einen Halbleiter hingegen mit Atomen, die ein Valenzelektron weniger besit- zen als die Atome des Halbleiters, kann das Fehlende Elektron aus dem Kristall für die Bindung mit dem Fremdatom zur verfügung gestellt werden. Es entsteht dann ein Loch im Valenzband. Im ersten Fall spricht man von einem n-dotierten Halbleiter, die Fremdatome nennt man Donatoren. Im zweiten Fall handelt es sich um einen p-dotierten Halbleiter mit Akzeptoren. Das Donatorniveau liegt unterhalb des Leitungsbandes, das Akzeptorniveau oberhalb des Valenzbandes.
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Betrachtet man die Zahl der Ladungsträger, so überwiegen im n-dotierten Halbleiter die Elektronen und im p-dotierten Halbleiter die Löcher. Die Ladungsträger, die in gröÿerer Zahl vorhanden sind, nennt man Majoritätsträger und entsprechend die in geringerer Zahl vorhandenen Ladungsträger Minoritätsträger.
Der pn-Übergang
Im thermischen Gleichgewicht
In p-dotierten und n-dotierten Halbleiterkristallen ist das Fermi-Niveau nach unten bzw. nach oben verschoben wenn man diese jeweils für sich betrachtet. Bei einem pn-Übergang handelt es sich aber insgesamt um den gleichen Halbleiterkristall, der nur einen abrupten
Übergang von einer p- zu einer n-Dotierung aufweist. Deshalb muÿ das Fermi-Niveau als elektrochemisches Potential für den Gesamten Halbleiterkristall konstant sein. Dies ist nur möglich, wenn im Übergangsbereich eine Verbiegung der Bandstruktur vorliegt.
Auf Grund des Konzentrationsgefälles von freien Ladungsträgern in der Nähe des Über- gangs di undieren Elektronen aus der n-dotierten in die p-dotierte Schicht und umgekehrt Löcher aus der p-dotierten in die n-dotierte Schicht. Durch diesen Di usionsstrom geht die Ladungsneutralität im Übergangsbereich verloren. Die p-Seite wird in der Nähe des Übergangs negativ aufgeladen, die n-Seite positiv. Diese entstehende Raumladung erzeugt ein elektrisches Feld, das wiederum einen Strom uÿ bewirkt, der dem Di usionsstrom ent- gegengesetzt gerichtet ist. Zwischen dem Feldstrom und dem Di usionsstrom stellt sich ein dynamisches Gleichgewicht ein.
Mit Vorspannung
Legt man nun eine äuÿere Spannung an den pn-Übergang an, so wird das Gleichgewicht, das sich durch Di usion der Ladungsträger gebildet hat, gestört. Man kann die Verbiegung der Bänder auf diese Art und Weise beein ussen. Je nach Polung der Spannung erleichtert man den Majoritätsträgern das Di undieren (Durchlaÿrichtung) bzw. man erschwert es ihnen (Sperrichtung).
Photostrom
Wenn man einen pn-Übergang der in Sperrichtung gespannt ist beleuchtet, werden in der Sperrschicht durch Absorption von Photonen Elektron-Loch-Paare erzeugt. Aufgrund des Potentialgefälles driften die Elektronen zur n-Seite, die Löcher zur p-Seite. Wenn sie nicht vorher rekombinieren tragen sie dann jeweils als Majoritätsladungsträger in ihrer Schicht zum Strom uÿ im äuÿeren Kreis bei.
Struktur der pin-Probe
Häufig gestellte Fragen zu "Versuchsvorbereitung von Oliver Fischer"
Was ist das Plancksche Strahlungsgesetz?
Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die spektrale Strahlungsdichte eines schwarzen Strahlers. Die Formel ist im Dokument enthalten.
Was besagt das Wiensche Verschiebungsgesetz?
Das Wiensche Verschiebungsgesetz besagt, dass sich das Maximum der Strahlungsdichte für höhere Temperaturen zu kleineren Wellenlängen verschiebt. Es erlaubt die Bestimmung der Temperatur eines Körpers durch Messung der Wellenlänge, bei der er die meiste Energie abstrahlt.
Was ist das Beersche Absorptionsgesetz?
Das Beersche Absorptionsgesetz beschreibt die Abschwächung der Strahlungsleistung beim Durchgang durch ein Medium. Die Formel dafür ist im Dokument angegeben und beinhaltet den Absorptionskoeffizienten.
Wie berechnet man die Re exion an der Grenz äche zweier Medien?
Der re ektierte Anteil einer eingestrahlten Lichtleistung beim Übergang von einem Medium mit Brechungsindex n1 in ein anderes mit Brechungsindex n2 bei senkrechtem Lichteinfall wird durch eine bestimmte Formel berechnet, die im Text enthalten ist.
Was sind Fabry-Perot-Oszillationen?
Fabry-Perot-Oszillationen sind Mehrfachre exionen, die beim Durchgang von Licht durch eine Schicht auftreten. Sie werden durch konstruktive oder destruktive Interferenz der transmittierten Lichtstrahlen verursacht.
Wie kann man aus Fabry-Perot-Oszillationen die Dicke einer Schicht ableiten?
Die Dicke der Schicht kann aus der Phasenverschiebung der transmittierten Lichtstrahlen und den Wellenlängen benachbarter Intensitätsmaxima im Transmissionsspektrum berechnet werden. Die Formel zur Berechnung der Dicke ist im Dokument enthalten.
Was ist das Bändermodell des Festkörpers?
Das Bändermodell beschreibt die Aufspaltung der Elektronenenergien in Energiebänder in einem Festkörper aufgrund des geringen zwischenatomaren Abstands und des Pauli-Prinzips.
Was ist das Valenzband und das Leitungsband?
Das Valenzband ist das oberste vollbesetzte Band bei 0 K, und das Leitungsband ist das darüber liegende erste unbesetzte Band. Die Größe der Bandlücke zwischen diesen Bändern bestimmt, ob ein Material isolierend, leitend oder halbleitend ist.
Was ist die Fermi-Verteilung?
Die Fermi-Verteilung beschreibt die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus durch ein Elektron in Abhängigkeit von der Temperatur und dem Fermi-Niveau.
Was ist die Zustandsdichte?
Die Zustandsdichte D(E) gibt die Anzahl der verfügbaren Zustände pro Energie- und Volumeneinheit an, die ein Elektron einnehmen kann. Die Berechnung für ein 2-dimensionales System wird im Text gezeigt.
Wie funktionieren Bandübergänge und Absorption in Halbleitern?
Durch die Absorption eines Photons kann ein Elektron aus dem Valenzband ins Leitungsband gehoben werden, wodurch ein Elektron-Loch-Paar entsteht. Diese Übergänge können direkt oder indirekt erfolgen, abhängig von der Bandstruktur des Halbleiters.
Was bedeutet Dotierung von Halbleitern?
Dotierung ist die Verunreinigung des Kristallgitters eines Halbleiters mit Fremdatomen, um dessen elektrische Eigenschaften zu verändern. n-Dotierung verwendet Donatoren, die Elektronen liefern, während p-Dotierung Akzeptoren verwendet, die Löcher erzeugen.
Was passiert an einem pn-Übergang?
An einem pn-Übergang di undieren Elektronen aus der n-dotierten in die p-dotierte Schicht und umgekehrt Löcher. Dies führt zur Bildung einer Raumladungszone und eines elektrischen Feldes.
Was ist der Photostrom in einem pn-Übergang?
Wenn ein pn-Übergang in Sperrichtung beleuchtet wird, entstehen Elektron-Loch-Paare, die durch das Potentialgefälle getrennt werden und einen Strom im äußeren Kreis verursachen.
Was ist eine pin-Struktur?
Eine pin-Struktur besteht aus einer p-dotierten Schicht, einer intrinsischen (nicht-dotierten) Schicht und einer n-dotierten Schicht. Die im Versuch verwendete Probe ist eine pin-Struktur aus AlGaAs und GaAs.
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- Oliver Fischer (Author), 2000, Optische und elektrische Eigenschaften von mikrostrukturierten Halbleitern, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/100086
