Zyklische Attraktoren ( Darstellung durch Ellipse): das dynamische System nähert sich einem Grenzzyklus an und ist periodisch.

Torus-Attraktoren (Darstellung durch Torus): das dynamische System nähert sich einem Torus an und verhält sich quasi-periodisch, da zwei unabhängige zweidimensionale dynamische Systeme Ausgangspunkt des Attraktors sind.

Chaotische (seltsame) Attraktoren: ist der sogenannte Lorenz-Attraktor, durch

den der Schmetterlingseffekt berühmt wurde. Bei diesem kann eine minimale Änderung in den Anfangsbedingungen eines Systems zur völligen Unvorhersagbarkeit des Verhaltens führen. Es scheint so, daß nicht nur thermodynamische Systeme Attraktoren besitzen, sondern auch soziale Systeme wie unsere Gesellschaft oder die Weltwirtschaft. Dort können Attraktoren als erfolgreiche Muster im Sinne von Märkten aufgefaßt werden, auf die sich Systeme im Laufe der Zeit zubewegen

Benoit Mendelbrot (1924)

Mandelbrot wurde 1924 in Warschau/Polen geboren. Er verfügte über die Gabe mathematische Probleme auf leichteste Weise geometrisch zu lösen. Einer seiner Lehrer war Gaston Julia, der sich bereits Anfang des Jahrhunderts mit dem Chaos beschäftigt hatte. Später unterrichtete Mandelbrot u.a. in Harvard (Nationalökonomie), Yale (Ingenieurswissenschaften und Psychologie) und der Einstein School of Medicine. Er arbeitete auch bei IBM, wo er die Verteilung von Einkommen untersuchte. Mandelbrot unternahm in seiner Karriere Ausflüge in alle möglichen Wissenschaften, stellte dort teils sehr gewagte Thesen und Ideen auf, die er dann jedoch unbewiesen zurückließ. Auch in der Chaosforschung schlug Mandelbrot einen neuen Weg ein, fand dabei jedoch kaum Anerkennung. Mandelbrot sagte über die Eigenwilligkeit und Brisanz seiner Ideen folgendes: "Die Wissenschaft wäre (wie der Sport) verloren, wenn sie den Wettbewerb über alles andere stellen wollte und den Regeln des Wettbewerbs gehorchte, durch allseitigen Rückzug in eng umgrenzte Spezialgebiete. Die wenigen Gelehrten, die sich als Nomaden aus Überzeugung verstehen, sind von wesentlicher Bedeutung für das Wohl der klassischen Disziplinen." Durch diese Ideen jedoch isolierte sich Mandelbrot in der Wissenschaft. Seine Anerkennung als Mathematiker wurde ihm von den meisten seiner Kollegen verwehrt. Seine Publikationen wurden oftmals nur unter der Auflage herausgebracht, daß Mandelbrot seine kühnsten Ideen

zurückhalte. Trotzdem erschien Ende der 70er Jahre sein erfolgreichstes Werk: "The fractal geometry of nature". Fraktrale:

Das Wort Fraktal stammt aus dem lateinischen und bedeutet dort gebrochen (in der Medizin gibt es ein ähnliches Wort: Fraktur). Das Gebrochene an einem Fraktal ist dabei die Dimension. Weiterhin ist typisch für ein Fraktal, daß wenn man einen Teil vergrößert, man wieder ein Bild erhält, daß dem Gesamten ähnlich ist. Die bekanntesten Fraktral-Typen sind Julia und Mandelbrot.

Die gebrochene oder fraktrale Dimension:

Fraktrale haben eine Dimension. Ein Objekt muß nicht unbedingt ein- oder zweidimensional sein, es kann eine Dimension von 1,5; 2.81 oder 3 haben. Die Dimension einesr Fraktral ist nicht so einfach zu beschreiben. Aber wenn man annimmt das eine gerade Linie eindimensional und ein Rechteck zweidimensional ist wäre ein Objekt das eine sehr zackige und Linie (so wie die meisten Fraktralen aussehen) zwischen den beiden Dimensionen. Sie würde den Raum zwar besser ausfüllen als eine gerade Linie aber nicht so gut wie das Rechteck. Also hätte die zackige Linie die Dimension irgendwo zwischen der 1. Und 2. Dimension z.B.: 1,25.

1. Was bedeutet Chaos für die Menschheit?

Bis vor ca. einem Jahrhundert waren die Menschen davon überzeugt, daß es in wenigen Jahrzehnten gelungen sein sollte, alles auf der Welt, bis auf wenige Ausnahmen, durch Formeln darstellen lassen zu können. Diese Theorie beruhte darauf, daß man glaubte, daß nahezu alles eine gewisse Regelmäßigkeit und Berechenbarkeit besitzt. Diese Vorstellung hat sich heute grundlegend geändert. Man hat festgestellt, daß die Unordnung, sprich das Chaos, unser Leben mehr bestimmt, als wir es für möglich halten. Man geht sogar noch weiter uns sagt, daß das Berechenbare die Ausnahme im sonst vom Chaos beherrschten Universum ist. Bestes Beispiel für Chaos ist der Mensch selbst. Der Mensch verhält sich in jeder Hinsicht unberechenbar, also chaotisch. Währe es nicht so, so würde es keine Unfälle mehr geben, da Unfälle Folgen eines Verhaltens sind, daß nicht dem "normalen" entspricht. So kann es kommen, daß zwei Autos an einer Ampelkreuzung kollidieren, weil einer der Fahrer bei rot gefahren war. Das Verhalten dieses Fahrers ist somit unberechenbar also chaotisch. Mittlerweile ist aus dem Chaos eine ganze Wissenschaft geworden, die Chaost-Theorie. Mit einem der größten Wissenschaftler dieser Sparte beschäftigt sich das folgende Kapitel.