Die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene

Inhaltsverzeichnis

3  Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit dem Steinerschen  

3.1  Biographie von Steiner  6

3.2  Beweis nach Steiner  6

4  Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Fourier-Analysis  

  (nach Hurwitz)  9

4.1  Biographie von Hurwitz  9

4.2  Beweis nach Hurwitz  9

5  Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Hilfe des Satzes  

6.1  Satz: Isoperimetrische Ungleichung für beliebige Dimensionen  25

6.2  Beweis nach Knothe und Gromov über den Satz von Stokes  26

1 Einleitung

Die vorliegende Bachelor-Arbeit beschäftigt sich mit der isoperimetrischen Un- gleichung. Diese schätzt in der Ebene den Flächeninhalt einer Figur gegen ihren Umfang ab. Insbesondere wird hierbei eine Sonderstellung des Kreises deut- lich, da allein beim Kreis die Gleichheit in der Ungleichung eintritt. Das Wort „isoperimetrisch“ bedeutet „von gleichem Umfang“ (griechisch: isos = gleich; peri = um, herum; metron = Maß).

Im Alltag begegnet uns die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises häufig. Beispiele hierfür sind: Fettaugen auf einer Fleischbrühe sind kreisförmig (Mo- lekularkräfte erzwingen Figur kleinsten Umfangs) und auf der Kreisscheibe lässt sich der höchste Sandhaufen aufschütten (vgl.: [FUB]).

Das klassische isoperimetrische Problem in der Ebene wird auch Problem der Dido genannt. Dido war eine phönizische Prinzessin, die nach der Flucht vor ihrem machtgierigen Bruder an der Küste des heutigen Tunesiens landete. Dort bat sie den Häuptling um Land und dieser versprach ihr, dass sie soviel be- käme, wie mit einer Stierhaut zu umfassen ist. Daraufhin schnitt Dido die Haut in hauchdünne Streifen, knotete sie aneinander und legte so eine lange Kurve ins Land, dessen Endpunkte sich an der Küste befanden. Nicht überliefert ist, ob sie die bestmögliche Kurve - nämlich ein Stück eines Kreises - gewählt hat (vgl.: [FHF]).

Ähnlich lässt sich auch ein Optimierungsproblem in der Landwirtschaft for- mulieren: Ein Bauer hat eine bestimmte Länge Zaun und möchte damit die größtmögliche Kuhweide einzäunen. Die Lösung dieses Problems lautet, dass die Weide kreisförmig sein sollte. Dies werde ich in den folgenden Kapiteln mathematisch zeigen.

Die isoperimetrische Ungleichung und vor allem deren Beweis haben eine lange Vergangenheit. Diese Eigenschaft von Kreis und Kugel war bereits im Alter- tum bekannt. Es wurden hierfür im Laufe der Zeit viele verschiedene Beweise entwickelt (vgl.: [Sak], S.241). Im Jahr 1841 veröffentlichte Steiner eine Ab- handlung, in der das sogenannte „Viergelenkverfahren“ beschrieben ist, wel- ches die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene beweist. Dieser Beweis ist jedoch unvollständig, worauf ich in Kapitel 3 genauer eingehe. Vervollstän- digungen von Steiners Verfahren wurden später mehrfach durchgeführt (vgl.: [Bla], S.39). Obwohl die Ungleichung bereits so lange bekannt ist, wurde der erste vollständig korrekte Beweis für Gebiete in R 2 und höher dimensionalen euklidischen Räumen erst 1884 von H.A. Schwarz aufgestellt. Einige Zeit später (1901) entwickelte Hurwitz einen weiteren Beweis des isoperimetrischen Pro- blems in der Ebene, indem er die Fläche und den Umfang als Fourier-Reihen darstellte. E. Schmidt war der erste, der das isoperimetrische Problem für eine größere Klasse von Räumen lösen konnte (in Sphären und hyperbolischen Räu- men)(vgl.: [A]). Einen weiteren sehr bekannten Beweis, welcher den Satz von

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Stokes nutzt, entwickelte Knothe 1957. Dieser wurde jedoch lange Zeit nicht weiter beachtet, sondern erst in den 80er Jahren von Misha Gromov verbrei- tet. Es gibt auch noch weitere klassische Beweise, zum Beispiel einer, welcher auf dem Brunn-Minkowski Theorem basiert. Hierauf möchte ich jedoch nicht genauer eingehen (vgl.: [Ber1], S.26ff).

An dieser Stelle möchte ich nun noch den Aufbau meiner Arbeit vorstellen: Im nächsten Kapitel werde ich das isoperimetrische Problem angeben und danach die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene als Satz formulieren. Weiter füh- re ich ein kurzes Beispiel an, welches zum Verständnis der Aussage beitragen soll. Die folgenden drei Kapitel beschäftigen sich mit verschiedenen Beweisen des Satzes in der Ebene: Kapitel 3 beinhaltet eine kurze Biographie von Steiner und sein Viergelenkverfahren. In Kapitel 4 stelle ich den Lebenslauf von Hur- witz vor und zeige seinen Nachweis der Ungleichung. Anschließend folgt der Beweis von Knothe und Gromov, welcher den Satz von Stokes nutzt (Kapitel 5). Im 6. Kapitel formuliere ich zuerst einen allgemeineren Satz der isoperime- trischen Ungleichung, welcher für beliebige Dimensionen gültig ist und zeige diesen dann durch eine Verallgemeinerung von Knothe und Gromovs Beweis aus Kapitel 5. Am Ende steht eine Schlussbetrachtung, in welcher die Ergeb- nisse zusammengefasst und bewertet werden.

Das Ziel meiner Arbeit ist ein gutes Verständnis der isoperimetrischen Un- gleichung zu vermitteln und einen Überblick über die Vielfalt der Beweise zu geben.

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2 Das isoperimetrische Problem

Unter allen einfach geschlossenen, ebenen Kurven von gegebenem Umfang soll diejenige Kurve ermittelt werden, welche den größten Flächeninhalt umschließt bzw. bei vorgegebenem Flächeninhalt diejenige, welche den kleinsten Umfang hat. Der Kreis ist die einzige Lösung dieses Problems. 1

Satz: Die isoperimetrische Ungleichung

(vgl.: [Bär], S.61)

Sei γ eine einfach geschlossene, ebene, stetig differenzierbare Kurve. Dann gilt:

L 2 − 4πF ≥ 0

⇔

⇔

mit F Flächeninhalt und L Umfang von γ. Gleichheit gilt dann und nur dann wenn γ der Kreis ist.

Die so entstehende Fläche G ist nach Jordanschem Kurvensatz ein beschränk- tes Gebiet (vgl.: [GP], S.88). Beschränktheit ist nötig um überhaupt von einem Flächeninhalt sprechen zu können.

Beispiel:

Es sei mit L = 2π der Umfang einer Fläche vorgegeben. Der obige Satz besagt = (2π) 2

nun, dass der Flächeninhalt der Fläche kleiner oder gleich L 2 4π 4π

Der Einheitskreis erfüllt hierbei die Gleichheit, da dessen Flächeninhalt π ist.

Dies ist natürlich kein Beweis der isoperimetrischen Ungleichung, zeigt aber, dass für das Beispiel beim Kreis die Gleichheit in der Ungleichung eintritt.

1 Hierbei meint der Umfang die Bogenlänge der Kurve und der Flächeninhalt den Inhalt der von der Kurve umrandeten Fläche.

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3 Beweis der isoperimetrischen Ungleichung

mit dem Steinerschen Viergelenkverfahren

(vgl.: [Bla], S.1-5)

3.1 Biographie von Steiner

(vgl.: [Wi])

Jakob Steiner wurde am 18.3.1796 in Utzenstorf, einem Ort im Kanton Bern, geboren. Nach dem Besuch der heimatlichen Dorfschule ging er an die Schu- le Pestalozzis in Yverdon, an welcher er erstmals mathematischen Unterricht erhielt. 1818 zog er nach Heidelberg, studierte Mathematik und promovierte dort. Seit 1820 lebte er in Berlin und galt bald als bester Privatlehrer der Mathematik. Steiner veröffentlichte zu dieser Zeit einige Arbeiten über geome- trische Probleme in einem Journal der reinen und angewandten Mathematik. 1827 wurde er Oberlehrer am Gewerbeinstitut und seit 1834 arbeitete er als außerordentlicher Professor an der Berliner Universität. Außerdem wurde Stei- ner Mitglied der Akademie der Wissenschaften. Er starb am 1.April 1863 in Bern.

Steiner interessierte sich vor allem für Geometrie und legte in seinen Vorle- sungen großen Wert auf die Herausbildung geometrischer Anschauung. Einige Sätze und Probleme der Mathematik sind nach ihm benannt, so zum Beispiel das Steiner- und das Poncelet-Steiner-Theorem.

3.2 Beweis nach Steiner

Bei diesem Beweis ist die Voraussetzung nötig, dass die Kurve γ konvex ist. Konvexität einer ebenen Kurve bedeutet: Die Kurve liegt für alle Punkte ganz auf einer Seite der jeweiligen Tangente (vgl.: [Bär], S.52).

Steiner konstruierte zu jeder ebenen, einfach geschlossenen und nicht kreis- förmigen Kurve γ eine neue Kurve γ, mit gleichem Umfang und größerem Flächeninhalt, welche ebenfalls eben und einfach geschlossen ist. Daraus folgt dann, dass γ keine Lösung des „isoperimetrischen Problems“ sein kann.

Nun komme ich zum konkreten Vorgehen von Steiner:

Zuerst wählt man auf γ zwei Punkte A und B, so dass die beiden entstehenden Teilbögen gleiche Bogenlänge haben, aber keiner der beiden ein Halbkreis ist. Durch Verbinden von A und B entstehen die Flächeninhalte F 1 und F 2 , wobei ohne Einschränkung gilt F 1 ≥ F 2 (analog nennt man die zugehörigen Kurven

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γ 1 und γ 2 ). Da γ konvex ist liegt die Verbindung zwischen zwei Punkten immer vollständig im Inneren.

Daraufhin konstruiert man eine neue Fläche, indem γ 1 an der Geraden AB gespiegelt wird (vgl.: Abb. 1). Die so entstehende Fläche, welche von γ∗, be- stehend aus γ 1 = γ 1 ∗ und γ ∗

2 , umschlossen wird, ist nach Konstruktion kein Kreis und hat den gleichen Umfang wie γ, aber der Flächeninhalt F ∗ ist größer oder gleich F = F 1 + F 2 .

Da die neue Fläche kein Kreis ist lässt sich ein Punkt C auf der Kurve γ ∗

finden, so dass der Winkel α des Dreiecks ABC bei C nicht 90 ◦ ist. Durch Spiegelung des Dreiecks an der Geraden AB erhält man ein Viereck ABCD (vgl. Abb. 2). Die durch Herausschneiden des Vierecks und mit Ösen an den Ecken A,B,C,D „gelenkige“ Fläche wird „Viergelenk“ genannt.

Das Viergelenk wird nun so bewegt, dass das neue Viereck bei

den Ecken

durch nicht, da die vier Teilbögen jeweils kongruent zueinander sind, aber der Flächeninhalt

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Denn:

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC lautet 1

· g · h mit g = a

und h = sin(α) · b mit sin(α) = Gegenkathete

Abbildung 3: Eigene Darstellung

Der Flächeninhalt der Dreiecks

Abbildung 4: Eigene Darstellung

2 ·

Deshalb ist

nicht die optimale Lösung sein kann.

Bei diesem Beweis von Steiner bleibt jedoch die Existenzfrage unbeachtet, denn es wird nur gezeigt, dass man zu jeder Fläche, die kein Kreis ist, eine neue Fläche mit gleichem Umfang, aber größerem Flächeninhalt konstruieren kann. Zu zeigen bleibt also, dass es überhaupt eine Lösung des isoperimetri- schen Problems gibt. Diese kann dann wegen dem Viergelenkverfahren nur der Kreis sein. Dieser Nachweis wurde von Steiner nicht erbracht und Dirichlet soll vergeblich versucht haben, ihn von dieser Lücke bei seinem Vorgehen zu überzeugen.

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