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Vorwort

Eins der wichtigsten Themen der Mittelstufenmathematik ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Im vorliegenden Buch möchte ich zeigen, wie man das Additionsverfahren im Mathematikunterricht der Klasse 8 einführen kann. Für die Lösbarkeitstheorie von LGS sollen die Schüler verschiedene Fälle ausprobieren, was man sinnvollerweise mit einem Computer-Algebra-System (CAS) erarbeiten lässt; dazu stelle ich Arbeitsblätter vor.

Das vorliegende Buch beinhaltet eine Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe, die Analyse des Lehrstoffs, didaktische und methodische Entscheidungen, den Verlauf der Stunde und Arbeitsmaterialien. Das Arbeitsmaterial soll Lehrern und Didaktikern als Hilfe und Anregung dienen. Die in diesem Buch vorgestellte Unterrichtsstunde und die enthaltenen Arbeitsmaterialien entstanden während meines Mathematikunterrichts im Schuljahr 2003 / 2004 und kamen auch in den Schuljahren danach erfolgreich zum Einsatz.

Ich wünsche meinen Lesern einen Teil der Freude, die ich beim Verfassen des vorliegenden Buchs hatte. Ich würde mich freuen, wenn ein Funke meiner Begeisterung für die linearen Gleichungssysteme auf den fachkundigen Leser überspringt.

Hermeskeil, im Januar 2008 Marc A. Bauch

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Inhaltsverzeichnis

1.  EINORDNUNG DER UNTERRICHTSSTUNDE IN DIE  

UNTERRICHTSREIHE   3

2.  ANALYSE DES LERNSTOFFS  4

2.1  Fachwissenschaftliche Analyse  4

2.2  Alternative Unterrichtsmöglichkeiten.  7

2.3  Didaktische Reduktion.  8

3.  DIDAKTISCH-METHODISCHE ENTSCHEIDUNGEN  9

3.1  Lernziele.  9

3.1.1  Stundenziel.  9

3.1.2  Feinlernziele.  9

3.2  Lehr- und Sozialformen  10

3.3  Lernerfolgskontrollen  10

3.4  Medien  11

3.5  Hausaufgaben.  12

4.  VERLAUF DER STUNDE  13

5.  ARBEITSMATERIALIEN.  16

5.1  Hausaufgaben.  16

5.2  Folie für den Einstieg.  17

5.3  Arbeitsblätter für den Unterricht.  18

5.4  Tafelanschrift  20

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6.  LÖSBARKEIT VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN  

MIT  CAS.  22

6.1  Lehrplanbezug und Medien  23

6.2  Didaktisch-methodische Anmerkungen.  24

6.3  Arbeitsblätter.  27

6.4  Hinweise für die Arbeit mit dem TC  29

7.  LITERATURVERZEICHNIS.  42

7.1  Lehrplan  42

7.2  Lehrwerk  42

7.3  Fachliteratur und fachdidaktische Literatur.  42

8.  LÖSUNGEN  43

8.1  Hausaufgabe (5.1)  43

8.2  Lösungen zu den weiteren Übungen (5.2)  44

8.3  Lösungen zu den Aufgaben (6 4)  47

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1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unter-

richtsreihe

Im Mathematikunterricht der Klasse 8 werden gemäß Lehrplan Lineare Gleichungssysteme behandelt. Die Unterrichtsreihe schließt an das Kapitel über lineare Funktionen an. Sie greift auf diese und auf die Unterrichtsreihe über Gleichungen und Ungleichungen zurück. ¹ Die Unterrichtsreihe, die gemäß Lehrplan ca. 20 Stunden umfassen sollte, lässt sich in sechs Abschnitte gliedern: 2

Bis zur vorzustellenden Unterrichtsstunde sollen die Abschnitte (1) bis (3) mit den Schülern erarbeitet und geübt werden. Für die vorzustellende Un-terrichtsstunde ist Abschnitt (4), also das Additionsverfahren, vorgesehen. Die Verallgemeinerungen in den Abschnitten (5) und (6) ist für die darauf folgenden Stunden vorgesehen. Die Frage der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme wird an passenden Stellen in die sechs Abschnitte integriert.

¹ Auf die Voraussetzungen wird im Lehrplan ausdrücklich hingewiesen, vgl. Lehrplan

für die Klassenstufen 7 und 8 - Gymnasium - Mathematik (Saarbrücken, 1984), S. 34.

² vgl. Lehrplan für die Klassenstufen 7 und 8 - Gymnasium - Mathematik (Saarbrücken,

1984), S. 34-36.

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2. Analyse des Lernstoffs

2.1 Fachwissenschaftliche Analyse

Zunächst wollen wir lineare Gleichungssysteme formulieren:

Häufig schreibt man für ein lineares Gleichungssystem auch

Es werden also zwei Aussageformen durch „und“ verknüpft. Ziel ist es nun, ein solches lineares Gleichungssystem zu lösen, d. h. seine Lösungsmenge zu finden. Die Lösungsmenge ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der Teilaussageformen, was die „und“-Verknüpfung impliziert, also

{ }

L die Lösungsmenge der oberen Aussageform und 2 L die Lösungswobei 1

menge der unteren Aussageform ist.

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Lineare Gleichungssysteme können

graphisch

mit dem Einsetzungsverfahren mit dem Gleichsetzungsverfahren mit dem Additionsverfahren gelöst werden.

Es stellt sich die Frage nach der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.

Der Kalkül des Additionsverfahrens

Im folgenden wird vorausgesetzt, dass die Gleichungen in der allgemeinen Form

vorliegen (notfalls müssen die gegeben Gleichungen auf diese Form gebracht werden). Unter dem Additionsverfahren für zwei Gleichungen mit zwei Variablen versteht man den folgenden Algorithmus:

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Passende Zahlen, mit denen man in Schritt 1 die Gleichungen multipliziert, sind trivialerweise a 2 für die erste Gleichung und -a 1 für die zweite Gleichung. Kleinste Zahlen sind die, die das kgV(a 1 ,a 2 ) bzw. -kgV(a 1 ,a 2 ) als neue Koeffizienten vor einer Variablen bei der Multiplikation erzeugen. Gelegentlich wird das obige Verfahren auch Subtraktionsverfahren genannt, wenn die neuen Koeffizienten aus Schritt 1 gleich sind und somit die Gleichungen subtrahiert werden.

Das Additionsverfahren ist in manchen Fällen praktischer als das Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren. Es lässt sich leichter als das Einsetzungs- bzw. Gleichsetzungsverfahren schematisieren und ist somit einfacher in ein Computerprogramm umsetzbar.

Bemerkungen:

Das Additionsverfahren wurde in Europa 1559 zum ersten Mal von dem französischen Mönch Johannes Buteo beschrieben. Im türkischen heißt das Verfahren yok etme metodu, wörtlich: Auslöschungsverfahren oder Ver- nichtungsverfahren. Die türkische Bezeichnung veranschaulicht die Entste-

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hung der Dreiecksform beim Additionsverfahren. Ein anderer Ausdruck für Additionsverfahren ist Gauß-Algorithmus.

Die Sonderfälle beim Additionsverfahren:

Für die Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems gibt es drei verschiedene Fälle:

• L enthält genau ein Element

• L enthält kein Element.

• L enthält unendlich viele Elemente.

Ob ein lineares Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat, kann man auch beim Additionsverfahren erkennen. Wenn nach dem ersten Schritt beide Gleichungen gleich sind, so erhält man unendlich viele Lösungen. Die Lösungen können in einer einparametrigen Lösungsmenge dargestellt werden. Wenn nach dem ersten Schritt die beiden linken Terme gleich sind und die rechten Terme verschieden, dann kann es keine Lösung geben. Sonst existiert eine eindeutige Lösung.

2.2 Alternative Unterrichtsmöglichkeiten

Man kann den der vorzustellenden Unterrichtsstunde zu Grunde liegenden Sachverhalt anwendungsorientiert, aber auch innermathematisch motivieren und problematisieren. Für den anwendungsorientierten Zugang bieten sich Einkaufsaufgaben, inverse Probleme oder Aufgaben, bei denen Vektoren addiert werden, z. B. Schifffahrt mit und gegen die Strömung, an. Einen solchen Zugang halte ich für wenig sinnvoll, da dadurch zusätzliche Schwierigkeiten hinzukommen (Verständnis, Zusammenhang, Vektorrech- nung). Im Übrigen sind die linearen Gleichungssysteme motiviert und die

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Schüler wissen bereits, dass wir rechnerische Lösungsverfahren suchen, also uns mit einem innermathematischen Problem beschäftigen. In der vorzustellenden Unterrichtsstunde wird das Verfahren innermathematisch motiviert, problematisiert und erarbeitet.

2.3 Didaktische Reduktion

Schwerpunkt der vorzustellenden Unterrichtsstunde ist die Problematisierung und die Erarbeitung des Additionsverfahrens für zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Da es sich beim Additionsverfahren um ein wichtiges Verfahren handelt und der in dieser Unterrichtsreihe noch zu behandelnde Gaußschen Algorithmus auf diesem aufbaut und in der analytischen Geometrie (Klasse 12) wichtig ist, soll das Verfahren im Unterricht geübt werden.

Auf die Korrektheit des Algorithmus wird nicht eingegangen, da dies anschaulich klar sein müsste. Die Multiplikation mit passenden Zahlen in Schritt 1 wird angesprochen, aber nicht weiter vertieft, da intuitiv passende Zahlen gefunden werden können.

Die Variante mit drei Gleichungen mit drei Variablen sowie die Verfeinerung in Form des Gaußschen Algorithmus wird aus Zeitgründen auf die nachfolgenden Stunden verlegt. Ebenfalls werden keine Lösbarkeitsbetrachtungen durchgeführt, da sie einerseits geometrisch bereits bekannt sind und andererseits ein Zusatzaspekt darstellen, den ich in der Folgestunde behandeln möchte (vgl. Kapitel 6).

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3. Didaktisch-methodische Entscheidungen

3.1 Lernziele

3.1.1 Stundenziel

Die Schüler sollen das Additionsverfahren kennen lernen und anwenden.

3.1.2 Feinlernziele

Die Schüler sollen ...

1. angeben können, dass man zwei Gleichgewichtszustände addieren darf, ohne dass eine Waage aus dem Gleichgewicht gerät, und dies mathematisch und verbal formulieren können. (REORGANISATION) 2. ein LGS, bei dem der Koeffizient vor dem y in der zweiten Gleichung die Gegenzahl des Koeffizienten von y in der ersten Gleichung ist, durch Addition und Äquivalenzumformungen lösen können. (REOR-GANISATION)

3. ein LGS, bei dem der Koeffizient vor dem y in der zweiten Gleichung identisch ist mit dem Koeffizienten von y in der ersten Gleichung, lösen können, indem sie eine Gleichung mit -1 multiplizieren, die Gleichungen anschließend addieren und die gesuchten Komponenten bestimmen. (TRANSFER / REORGANISATION)

4. das Additionsverfahren formulieren können, indem sie die Vorgehensweise des zweiten Beispiels verallgemeinert verbalisieren. (REORGA-NISATION)

5. das Additionsverfahren anwenden und LGS mit Gleichungen in allgemeiner Form korrekt lösen können. (TRANSFER / REORGANISATI- ON)