Inhaltsverzeichnis

1.  Beschreibung des physikalischen Systems  3

1.1  Mechanische Beschreibung des Systems „Invertiertes Pendel“  3

1.2  Mathematische Beschreibung des Systems/ Differentialgleichungssystem  4

2.  Notwendigkeit einer Linearisierung  10

2.1  Durchführung der Linearisierung anhand der Versuchsanleitung  10

2.2  Andere Methode der Linearisierung und entsprechende Durchführung  22

3.  Beschreibung des Systems im Zustandsraum  23

4.  Systemuntersuchung Stabilität, Beobachtbarkeit Steuerbarkeit  24

4.1  Stabilitätsuntersuchung mittel Polstellen des Systems  24

4.2  Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit  25

5.  Reglerentwurf durch Zustandsrückführung  26

6.  Entwicklung eines Zustandsbeobachters  29

6.1.  Zustandsbeobachter für Position r, Winkel f Geschwindigkeit v  30

6.2.  Zustandsbeobachter für Position r Winkel f  31

6.3.  Zustandsbeobachter für Winkel f Geschwindigkeit v  31

6.4.  Zustandsbeobachter für Position r Geschwindigkeit v  32

7.  Vorteile eines Störgrößenbeobachters  33

8.  Zweck eines PI- Zustandsreglers  34

9.  Entwicklung einer Zustandsrückführung für 7 oder 8  35

10.  Anhang des ausgearbeiteten -MFiles  41

11.  Literatur/ Quellen  44

„Invertiertes  Pendel 2 Marcel Wittek (ET02/A)  

Abschnitt 1: Beschreibung des physikalischen Systems

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1. Beschreibung des physikalischen Systems

1.1 Mechanische Beschreibung des Systems „Invertiertes Pendel“ ...

Das physikalische

„invertiertes Pendel“ besteht aus

der Realisierung einer instabilen

Regelstrecke mit zugehörigem

Stellglied und einem digitalen

Regler.

Auf einem beweglichen Wagen ist ein frei drehbares Pendel angebracht, welches durch

den beobachtergestützten Zustandsrückkopplungsregler in einer nach oben senkrecht

stehenden Position ausgerichtet werden soll.

Um das Pendel an einer vorgegebenen Stelle in aufrechter Lage zu stabilisieren, wird

der Wagen, auf dem sich das Pendel befindet, über ein Transmissionsband mit Hilfe

eines stromgeregelten Gleichstrommotors angetrieben.

Aus den Messgrößen Position des Wagens r, Geschwindigkeit des Wagens v und dem

Winkel des Pendelstabes f erzeugt der digitale Regler ein Stellsignal welches zur

Stabilisierung den Gleichstrommotor über ein Stellglied geeignet ansteuert. Die Position

r des Wagens wird mittels eines Wendelpotentiometers an der Antriebswelle des Motors

ermittelt. Zusätzlich ist am Motor ein Tachogenerator angebracht um so die

Geschwindigkeit v des Wagens zu erfassen. Zur Messung des Winkels f des

Pendelstabes dient ein Schichtpotentiometer an der Drehachse.

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„Invertiertes Pendel” 3 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 1: Beschreibung des physikalischen Systems

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1.2 Mathematische Beschreibung des Systems/

Differentialgleichungssystem ...

Zur Berechnung der wirkenden Kraft, wird das

Gesamtsystem in Wagen und Pendel geteilt.

Dabei setzt sich die wirkende Gesamtkraft aus

einer horizontalen und einer vertikalen

Komponente zusammen.

Zunächst soll die horizontale Kraftkomponente

betrachtet werden:

= = F H

H

Dabei ist die Beschleunigung a H gleich der 2. Ableitung des Weges nach der Zeit und

setzt sich zusammen aus der vom Wagen zurückgelegten Strecke r und der Auslenkung

des Pendels aus der Ruhelage r’.

Aus der Addition beider Wegstrecken ergibt sich für H:

⋅ = M H

1

Aus der Beziehung am rechtwinkligen Dreieck ergibt sich für r’:

Φ ⋅ = sin l ' r S

eingesetzt und ausgeklammert kommt als horizontale Kraft H folgende formel le

Formulierung zustande:

Das gelöstete Differential unter Anwendung der Produktregel und der Kettenregel

ergibt sich:

⋅ = M H

1

1. Ableitung:

2. Ableitung:

( )

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„Invertiertes Pendel” 4 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 1: Beschreibung des physikalischen Systems

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Die Betrachtung der vertikalen Kraftkomponente setzt sich aus dem geregelten Auftrieb

der Masse durch den Pendelstab und der entgegengesetzt wirkenden Gewichtskraft der

Pendelmasse zusammen:

+ = F F V

G V

mit F V aus der Winkelbeziehung am rechtwinkligen Dreieck ergibt sich für die Strecke

z (Höhe des Pendelgewichtes über dem Drehpunkt):

Φ ⋅ = cos l z S

und für F V somit:

⋅ = M F

1 V

⋅ = M F

1 V

Additiv der entgegengesetzt wirkenden Gewichtskraft mit Erdbeschleunigung

(- 9,81 m/s) entsteht eine Differenz für die vertikale Kraftkomponente V (additiv

dargestellt):

+ = F F V

G V

⋅ = g M F mit und g = (- 9,81 m/s) ergibt sich eine vertikale Kraft V:

l G

Das gelöstete Differential unter Anwendung der Produktregel und der Kettenregel

ergibt sich:

⋅ = M V

1

1. Ableitung:

( ) ( )

⋅ + Φ ⋅ ⋅ Φ + Φ ⋅ Φ − ⋅ = ² g M cos sin l M V 2. Ableitung:

1 S 1

( )

Die Gleic hung für das Drehmoment des Pendels lautet (C = Reibungskonstante des

Pendels):

Θ

S

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„Invertiertes Pendel” 5 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 1: Beschreibung des physikalischen Systems

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Die Bewegungsgleichung für den Wagen lautet:

M

0

Um die nichtlinearen Differentialgleichungen aufzustellen, m üssen nun einige

elementar triviale Zwischenrechnungen erfolgen.

Für die 1. Differentialgleichung werden die Gleichungen 3.5 und 3.6 in die

Drehmomentengleichung des Pendels (3.3) eingesetzt:

Θ

S

( ) ( )

= Φ Θ

^S (

M

( )

= Φ Θ

^S (

M

= Φ Θ M

1 S

⋅ r M

1

( )

² Φ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ + Φ + Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − = Φ Θ ^{2 2} C cos l r M sin l g M cos sin l M

S 1 S 1 S 1 S

Laut der Winkelfunktion des trigonometrischen Pythagoras gilt:

= Φ + Φ ^{2 2} 1 cos sin

Dies eingesetzt ergibt sich:

² Φ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − = Φ Θ C cos l r M sin l g M l M

S 1 S 1 S 1 S

um das gekoppelte System mathematisch zu beschreiben wird nun für T S die

Ausdrucksweise des mathematischen Modells:

² M ⋅ + Θ = Θ (3.9) l

S 1 S

² M ⋅ − Θ = Θ umgestellt nach T S: l

S 1 S

und eingesetzt.

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„Invertiertes Pendel” 6 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 1: Beschreibung des physikalischen Systems

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Es entsteht:

( ) ² Φ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − = Φ ⋅ ⋅ − Θ C cos l r M sin l g M l M l M

S 1 S 1 S 1 S 1

nach erneuter Umstellung und Ausmultiplizierung die 1. Differentialgleichung:

² Φ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − = Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ Θ C cos l r M sin l g M l M l M

S 1 S 1 S 1 S 1

² = Φ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ Θ 0 C cos l r M sin l g M l M l M

S 1 S 1 S 1 S 1

² = Φ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ Θ 0 C cos l r M sin l g M l M l M

S 1 S 1 S 1 S 1

= Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ + Φ ⋅ Θ 0 cos l r M sin l g M C (3.7)

S 1 S 1

1. Differentialgleichung

Für die 2. Differentialgleichung wird die Gleichungen der horizontalen

Kraftkomponente 3.5 in die Bewegungsgleichung des Wagens (3.4) eingesetzt:

M

0

M

0

( ) r

− Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + ⋅ − = ⋅ ² F sin l M cos l M r M F r M

r S 1 S 1 1 0

⋅ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ² r F sin l M cos l M r M F r M

r S 1 S 1 1 0

um das gekoppelte System mathematisch zu beschreiben wird nun für M 0 die

Ausdrucksweise des mathematischen Modells:

+ = M M M (3.10)

1 0

− = M M M umgestellt nach T S:

1 0

und eingesetzt. Es entsteht:

( ) ⋅ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ² r F sin l M cos l M r M F r M M

r S 1 S 1 1 1

nach erneuter Umstellung und Ausmultiplizierung die 2. Differentialgleichung:

⋅ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ ² r F sin l M cos l M r M F r M r M

r S 1 S 1 1 1

= ⋅ + Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ ² 0 r F sin l M cos l M r M F r M r M

r S 1 S 1 1 1

= ⋅ + Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + − ⋅ ² 0 r F sin l M cos l M F r M

r S 1 S 1

( )

= − Φ ⋅ Φ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ² 0 F sin cos l M r F r M

S 1 r

( ) F

= Φ ⋅ Φ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ² sin cos l M r F r M (3.8)

S 1 r

2. Differentialgleichung

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„Invertiertes Pendel” 7 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 1: Beschreibung des physikalischen Systems

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Nun müssen die Differentialgleichung für eine Überführung in den Zustandsraum noch

so umgestellt werden, dass die höchste Ableitung, in Form der

beziehungsweise der Beschleunigung r separat dastehen.

Anschließend müssen die gegenseitigen Abhängigkeiten der beiden Variablen durch ein

jeweiliges Einsetzen eliminiert werden.

unabhängig von r aufgestellt werden.

Zunächst muss Gleichung (3.8) nach r umgestellt werden :

( ) F

= Φ ⋅ Φ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ² sin cos l M r F r M

S 1 r

= r

= r

und nun entsprechend in (3.7) eingesetzt werden:

− Φ + Φ Θ C

:

− Φ Θ

− Φ Θ



 ⋅ Φ





= Φ

= Φ

= Φ

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„Invertiertes Pendel” 8 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 1: Beschreibung des physikalischen Systems

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Entsprechend dieser Vorgehensweise muss nun die DGL für r

aufgestellt werden.

umgestellt werden:

= Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ + Φ ⋅ Θ 0 cos l r M sin l g M C

S 1 S 1



  − = Φ



= Φ

Und nun in die 2. Differentialgleichung (3.8) eingesetzt werden:

= Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ Φ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ² F sin l M cos l M r F r M

S 1 S 1 r

⋅ + ⋅ r F r M

r

Umgeformt und nach r umgestellt ergibt sich die neue Differentialgleichung für r :

⋅ M

⋅ M



 ⋅ r 



= r

= r

( )

= r

( )

= r

) ( ) (

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„Invertiertes Pendel” 9 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 2: Notwendigkeit einer Linearisierung

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2. Notwendigkeit einer Linearisierung

Begründung für Linearisierung:

Da sich die wirkende Kraft am Invertierten Pendel aus mehreren Komponenten

ersichtlich ist ein zusammensetzt, entsteht wie aus den beiden DGLs für r

System höherer Ordnung. Somit ist die Errechnung der jeweiligen Gleichgewichtslage

mit den dazugehörigen Arbeitsparametern nur sehr schwer möglich, da die meisten

regelungstechnischen Verfahren auf linearen Systemen basieren. Durch den Übergang

vom Arbeitspunkt zu den Abweichungen kann man das ursprüngliche System durch ein

lineares System approximieren.

Aus diesem Grunde wird die angesprochene F unktion unter 2.1, mittels einer

Taylorschen Reihe linearisiert.

2.1 Durchführung der Linearisierung anhand der Versuchsanleitung ...

Zur Darstellung eines Systems im Zustandsraum müssen die Faktoren der DGL in

linearer Form vorliegen. Zur beschriebenen Illustration des Systems im Zustandsraum

benötigt man einen entsprechenden Zustandsvektor und die Eingangsgröße:

(I)

Aus diesem Zustandsvektor lässt sich die Beschreibung der Eingangsgrößen vornehmen.

Taylorreihenentwicklung:

• Funktion f 1 :

= = r x x = f 1 (x, u) zur Linearisierung in einer Taylorreihe entwickelt ergibt sich:

3 1

( ) + = f x f

1 n

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„Invertiertes Pendel” 10 Marcel Wittek (ET02/A)

Abschnitt 2: Notwendigkeit einer Linearisierung

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• Funktion f 2 :

Φ = = x x = f 2 (x, u) zur Linearisierung in einer Taylorreihe entwickelt ergibt sich:

4 2

( ) + = f x f

2 n

∆ ⋅ + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ = u 0 x 1 x 0 x 0 x 0 x Systemgleichung 2

4 3 2 1 2

• Funktion f 3 :

= + + + + ⋅ β = ² r ) u b x ) x sin( a x ) x cos( a x a ) x cos( ) x sin( a ( ) x ( x = f 3 (x, u)

3 4 2 35 4 2 34 3 33 2 2 32 2 3

mit den entsprechenden Abkürzungen der Formelausdrücke:

+ = 1 ( x

3

zur Linearisierung in einer Taylorreihe entwickelt ergibt sich:

( ) + = f x f

3 n

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„Invertiertes Pendel” 11 Marcel Wittek (ET02/A)