0DUNRY.HWWHQ   

Referat  in Statistik 2 von Pirjetta Stüven  

Sommersemester   2002

Kiel  ,  22.05.2002

  ,QKDOW  

1  Einführung in Kettenprozesse.  3

2  Kurze Wiederholung: Unabhängige Ereignisse.  4

3  Definition und Merkmale von Markov-Ketten (diskrete Zeit)  4

4  Übergangsmatrizen und Wahrscheinlichkeitsvektoren.  5

5  Warteschlangensysteme  9

6  Zusammenfassung  15

7  Literatur  16

(LQIKUXQJLQ.HWWHQSUR]HVVH

„:DUXPLVWHVLQWHUHVVDQWVLFKPLW0DUNRY.HWWHQ]XEHVFKlIWLJHQ"³

Markov-Ketten dienen der Analyse oder/und Prognose der künftigen Entwicklungen z.B. auf den (Produkt)märkten. So können z.B. mit Hilfe von Modellen die Auswirkungen verschiedener Marketingmaßnahmen auf die Produktwahl der Konsumenten untersucht werden, um eine optimale Marketingstrategie zu entwickeln. Mittels der Markov-Ketten können Absatzprognosen, Anhaltspunkte zu der Dringlichkeit absatzpolitischer Maßnahmen, Angaben zur Beeinflussung der Markentreue von Konsumenten gemacht werden oder aber auch Warteschlangenzeiten beschrieben werden.

Es gibt zusammengesetzte Zufallsexperimente, deren Einzelversuche nicht voneinander abhängen. Andrej A. Markov (1856-1922), ein russischer Mathematiker, hat sich mit einem seiner Schüler als erster mit diesen stochastischen Kettenprozessen befasst. Die Markov-Prozesse gehören zu den Haupttypen stochastischer Prozesse.

Zur Begrifflichkeit: Ein stochastischer „3UR]HVV³ ist eine Folge von Zufallsvariablen. Stochastische Prozesse beschreiben die zeitliche Entwicklung eines zufallsabhägigen Systems. Die Bezeichnung „.HWWH“ wird verwendet, wenn die Zeit GLVNUHW ist (Wertebereich abzählbar).

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.XU]H:LHGHUKROXQJ8QDEKlQJLJH(UHLJQLVVH

Man spricht von der Unabhängigkeit zweier Ereignisse, wenn sich die Ereignisse gegenseitig nicht beeinflussen.

Wahrscheinlichkeiten)

∩ = 3 $ % 3 $ 3 % Zwei Ereignisse heißen unabhängig, wenn gilt: ( „Multiplikationssatz bei ) ( ) ( ) Unabhängigkeit“

'HILQLWLRQXQG0HUNPDOHYRQ0DUNRY.HWWHQGLVNUHWH=HLW

Grundsätzlich muss immer klar angegeben werden, wie Zeit (diskret oder stetig) und der Zustandsraum (was für Werte kann X n annehmen) (diskret oder stetig) ist.

'HILQLWLRQQDFK6WLHUKRI

^{Ä(LQH0DUNRY.HWWHOLHJWYRUZHQQEHLHLQHU)ROJHYRQ(LQ]HOYHUVXFKHQGLH}   :DKUVFKHLQOLFKNHLWIUGDV(LQWUHWHQHLQHV(UHLJQLVVHV=XVWDQGHV; LPQWHQ9HUVXFK

^{YRPEHNDQQWHQJHJHQZlUWLJHQ=XVWDQGLPYRUKHUJHKHQGHQQWHQ9HUVXFKDEKlQJW³} Die Markov-Eigenschaft kann einfach umschrieben werden.

Betrachten wir eine Folge von Zufallsgrößen X 1 , X 2 , ..., X n . Wir wollen nun Aussagen machen über die Verteilung von X n+1 . Ein solcher Prozess hat die Markov-Eigenschaft, wenn für diese Verteilung die Kenntnis von X 1 , X 2 , ..., X n gleichbedeutend ist mit der Kenntnis von X n . die weiter zurückliegenden Werde X 1 , X 2 , ..., X n-1 spielen also keine Rolle für X n+1, ^ZHQQ   ZLU; NHQQHQ

Wenn die Übergangswahrscheinlichkeit p ij unabhängig ist von der Nummer n des Versuches, die :DKUVFKHLQOLFKNHLWDOVRLQMHGHP=HLWSXQNWJOHLFKLVW, so heißt der Markovsche Kettenprozess KRPRJHQ

Wenn die Anzahl der möglichen Zustände des Kettenprozesses endlich ist, so heißt der Kettenprozess HQGOLFK.

'HU0DUNRY.HWWHQVLQGDOVR0RGHOOHIU6\VWHPHGLHVLFKDXVJHKHQGYRQHLQHP EHNDQQWHQJHJHQZlUWLJHQ=XVWDQGLP=HLWYHUODXI]XIlOOLJHQWZLFNHOQXQDEKlQJLJYRQ GHU9HUJDQJHQKHLW'LH]HLWOLFKH+RPRJHQLWlWZLOODXVGUFNHQGDVVGDV6\VWHP ]HLWOLFKJOHLFKEOHLEHQGHQ(LQIOVVHQ8PZHOWEHGLQJXQJHQXQWHUOLHJW

Für alle Q

Bsp. Ein Kunde hat die Möglichkeit in drei verschiedenen Geschäften ( i=3, Zustände des Systems) ein Handy zu kaufen: bei MediaMarkt (M), im T-Punkt (T), und in einem Internet-Shop (I). Die Zufallsvariable X n gebe das Geschäft an, in dem sich der Kunde zum Zeitpunkt n nach einem attraktiven Angebot erkundigt:

ƒ { X n = i } ist das Ereignis, dass der Kunde zum Zeitpunkt n im Laden i einkauft, ƒ P(X n+1 = j I X n =i ) bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde zum Zeitpunkt n+1 im Geschäft j einkauft, falls er zum Zeitpunkt n bei i eingekauft hat.

ƒ Bei j ≠ 1 würde ein Wechsel stattgefunden haben,

ƒ bei j = i bliebe der Kunde seinem bisherigen Geschäft treu.

ƒ Die Ereignisse sind zeitunabhängig, also für alle Zeitpunkte n gleich

hEHUJDQJVPDWUL]HQXQG:DKUVFKHLQOLFKNHLWVYHNWRUHQ

Sie geben bei einem Versuch die Übergangswahrscheinlichkeiten an von jedem beliebigen Zustand in jeden anderen an z.B. beim Wechsel eines Konsumenten von einer Marke zur anderen.

p ij :=P (X n+1 = j I X n =i ) heißt Übergangswahrscheinlichkeit. Sie hängt nur von den Zuständen i und j ab. Der Kunde wählt sein Geschäft also nicht aufgrund von bisherigen Erfahrungen, die er bisher mit den einzelnen Geschäften gemacht hat.

Gesucht ist nun die das Geschäft j interessierende Wahrscheinlichkeit P (X n+1 = j ), mit welcher der Kunde im nächsten Zeitabschnitt (z.B. nach Vertragsablauf) n+1 einkaufen wird.

'DUVWHOOXQJVP|JOLFKNHLWHQYRQhEHUJDQJVZDKUVFKHLQOLFKNHLWHQ

'DUVWHOOXQJDOV7UDQVLWLRQVJUDSK

(LQIDFKH'DUVWHOOXQJLP%DXPGLDJUDPP

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