Zusammenfassung  Lineare und ganzrationale Funktionen Gymnasium  

1.  Lineare Funktionen  

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1.1  Die Funktionsgleichung  2

1.2  Der Graph einer Linearen Funktion  2

1.3  Charakteristische Punkte einer linearen Funktion  3

1.3.1  Schnittpunkt mit der x-Achse  

1.3.2  Schnittpunkt mit der y-Achse  

1.3.3  Schnittpunkt von zwei Geraden  

LGS  I. Gleichsetzungsverfahren  

II.  Additionsverfahren  

III.  Einsetzungsverfahren  

1.4  Gegenseitige Lage von Geraden  6

1.5  Abstandsberechnung in der Ebene  9

1.5.1  Abstand von zwei Punkten  

1.5.2  Abstand von zwei parallelen Geraden  

1.5.3  Abstand von einem Punkt zu einer Geraden  

1.6  Schnittwinkel von zwei Geraden  12

1.7  Abschließende Aufgabe mit Lösung  13

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1. Lineare Funktionen

1.1 Die Funktionsgleichung

Als lineare Funktionen werden solche bezeichnet, in denen die Potenz der Variable entweder 0 oder 1 ist, niemals höher und niedriger. Beispiel:

Man könnte dieselbe Formel auch schreiben als:

Da natürlich jede Zahl das Einfache von sich selbst ergibt, erspart man sich und schreibt. Der Term ergibt immer 1, das ist mathematisches Gesetz. Folglich erspart man sich auch 2 * 1 und schreibt lediglich 2, da das Einfache einer Zahl immer sie selbst ergibt. Im Allgemeinen hat eine lineare Gleichung immer folgende Form:

m ist dabei die Steigung des Graphen bzw. Die Wachstumskonstante.

c ist dabei der Y-Achsenabschnitt, dazu im Folgenden mehr.

1.2 Der Graph einer linearen Funktion

Wie der Name schon verrät, verläuft der Graph einer linearen Funktion linear, d.h. geradlinig.

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Dabei kann der Graph wie in den Abbildungen steigen, sinken oder auf konstanter Höhe bleiben. Das m von der Funktionsgleichung, die Steigung lässt sich mit Hilfe der Werte von zwei Punkten errechnen:

Das c von der Funktionsgleichung ist lediglich der y-Wert vom Punkt, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Beispiel: Der blaue Graph hat die Gleichung . Wie schließt man darauf?

Gegeben haben wir zwei eindeutige Punkte: A (-2|0) und B (0|1). Das m lässt sich durch den Quotienten der Differenz der y-Werte und der Differenz der x-Werte errechnen.

Dabei ist es egal, welcher Punkt A und welcher B ist. Aber: wenn man den y-Wert von A von dem von B abzieht, so muss man das bei den x-Werten genauso machen.

Das c ist y-Wert des Punktes, in dem die Gerade die y-Achse schneidet. Abgelesen: y = 1. Wenn man also die errechneten m- und c-Werte in die Geradengleichung y = mx + c einsetzt, erhält man die Gleichung y = 0,5 x + 1.

1.3 Charakteristische Punkte einer linearen Funktion

Charakteristische sind die Punkte, bei denen der Graph die x- bzw. y-Achse schneidet

1.3.1 Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkte mit der x-Achse werden als Nullstellen bezeichnet. Das Charakteristische einer Nullstelle ist, dass der y-Wert immer null beträgt. Um also den x-Wert zu errechnen, bei der ein Graph die x-Achse schneidet, muss man für y null einsetzen und dann durch Äquivalenzumformung den zugehörigen x Werte berechnen.

Beispiel: Berechnung des y-Achsenabschnittes der blauen Gerade y = 0,5x + 1 | für y null einsetzen 0 = 0,5x + 1 | -1 | 2 -1 = 0,5x -2 = x Seite 4 von 38

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Die Nullstelle für die Funktion y = 0,5x + 1 ist -2.

1.3.2 Schnittpunkt mit der y-Achse

Das Charakteristische an Schnittpunkten mit der y-Achse ist, dass der x-Wert immer null beträgt. Also muss man in der Gleichung für x null einsetzen, um auf den y-Achsenabschnitt zu kommen. Da aber bei der Gleichung y = m*x + c das m*x wegfällt, wenn x null wird (m*0 = 0), steht dann da: y = c. Daher wird c auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet

1.3.3 Schnittpunkt von zwei Geraden

Zwei Geraden schneiden sich immer, wenn ihre Steigungskonstanten (m) nicht identisch sind; dann verlaufen sie nämlich parallel oder übereinander.

Das heißt, dass beide Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, bei dem x- und y-Koordinate übereinstimmen. Hat man zwei Geraden mit den folgenden Formen gegeben, bzw. (da mit und mit identisch ist)

so lassen sich die x-Werte mit Hilfe eines LGS (einem Linearen Gleichungssystem) berechnen. I. Das Gleichsetzungsverfahren:

Beide Gleichungen werden so umgeformt, dass sie auf jeweils einer Seite identisch sind. Diese Methode wählt man allerdings meistens nur, wenn diese Bedingung schon erfüllt ist; so wie hier. Beide Gleichungen haben auf jeweils einer Seite das y stehen. Daher kann man auch die beiden anderen Teile (die nicht identisch sind!) gleichsetzen: Wenn dasselbe ist wie * + und auch dasselbe wie , dann ist * + auch dasselbe wie * + , weil letzteres wiederum identisch mit ist. Also:

Beispiel: Berechnung des Schnittpunktes der blauen und grünen Gerade.

| -1

| +2x | 2,5

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Nun kann man den berechneten x-Wert in eine der beiden Gleichung einsetzen, um daraus auf den y-Wert zu schließen: o = 2

Der Schnittpunkt lautet demnach (2|2). II. Das Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden lediglich alle Bestandteile miteinander addiert. Diese Methode verwendet man dann, wenn eine Variable sich nach deer Addition aufhebt, wie z.B. hier: (I) | x hebt sich nach der Addition auf. (II)

III. Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren verwendet man häufig dann, wenn die Gleichungen nicht unbedingt in der y = mx + c Form gegeben sind. Dabei wird eine Veriable durch die andere beschrieben und übrig bleibt eine Gleichung mit einer Variable. Zum Beispiel hier: (I) (II)

In (II) wird y durch x beschrieben. Setzt man nun in der ersten Gleichung für y: x+2 ein, erhält man in (I) eine Gleichung nur mit der Variable x.

(II) in (I)

1.4 Gegenseitige Lage von Geraden

Geraden sind einfach nur das Schaubild linearer Funktionen. Sie können sich auf drei verschiedene Möglichkeiten verhalten: Entweder sie sind parallel, haben einen Schnittpunkt oder liegen übereinander. Parallel sind zwei Geraden, wenn ihre Steigungen identisch sind, ihre y-Achsenabschnitte jedoch nicht. Übereinander liegen zwei geraden, wenn sie dieselbe Steigung und denselben y-Achsenabschnitt haben.

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Sie haben einen Schnittpunkt, wenn sie unterschiedliche Steigungen haben, unabhängig vom y-Achsenabschnitt. Haben beide Geraden denselben y-Achsenabschnitt, so ist der Wert davon die y-Koordinate des Schnittpunktes.

Eine besondere Form von zwei sich schneidenden Geraden stellt die Orthogonalität dar. Eine Orthogonalität von zwei Geraden liegt vor, wenn

gilt.

Beispiele: Untersuchung von zwei Geraden auf ihre gegenseitige Lage. a.

b.

c.

d. Lösungen:

a. Zunächst erfolgt immer ein Vrgleich der m- und c-Werte. Beide sind jeweils unterschiedlich, also handelt es sich um zwei sich schneidende Geraden. Der Test, ob die Geraden orthogonal zueinander verlaufen:

Nun muss man ein praktisches LGS-Verfahren wählen - hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. | |

x in ergibt:

Die beiden Geraden schneiden sich und haben einen Schnittpunkt in S ( 1 |

b. Zunächst sollte man umformen, um zu erfahren, ob die c- bzw. m-Werte zueinander stehen. Die Umformung ergibt:

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c und m unterscheiden sich, also liegt wieder ein Schnittpunkt vor. Überprüfung einer möglichen Orthogonalität:

Die Formel geht auf; also sind die Geraden orthogonal.

Hier bietet sich wiederum das Einsetzungsverfahren an:

(II) in (I):

Die Geraden sind orthogonmal zueinander und haben ihren Schnittpunkt in S (4|-2) c. Zunächst wieder die Umformung:

Umformung ergibt: Das m ist identisch. Das c nicht. Also sind die beiden Geraden parallel. d. Genaueres Hinsehen ergibt: Die Gleichungen sind identisch. Also liegen die beiden Graphen übereinander.

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