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dt infinitisimal kleiner Zeitabschnitt ?t kurzer Zeitabschnitt dz infinitisimal kleine Veränderung der Variablen z ? Element aus e Ziehung aus einer standardnormalverteilten Häufigkeitsverteilung E Zustandsraum œ s -Algebra µ erwartete Rendite, Drift (Trend) N(0,vT) Normalverteilung mit dem Ew von 0 und Stabw von vT n?8 n geht gegen Unendlich O Grund-/ Stichprobenraum P Wahrscheinlichkeitsmaß (O,œ,P) Wahrscheinlichkeitsraum s Volatilität s Zeitparameter aus der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen S Aktienkurs zum Zeitpunkt t t Zeitparameter aus der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen T Zeitparametermenge T Prognoseperiode x, Zufallsvariable X Zufallsvariable X = {X t , t? T} Stochastischer Prozeß Informationsstand zum Zeitpunkt t Ø(t) z Zufallsvariablen z(t) Realisation der Zufallsvariable zum Zeitpunkt t

- 3 -B/S-Modell Black-Scholes-Modell Ew Erwartungswert Mt Martingal Mw Mittelwert N Normalverteilung o.g. oben genannt Pz Prozeß Stabw Standardabweichung VaR Value at Risk Var Varianz WP Wiener Prozeß

Die Prognose von Aktienkursbewegungen ist ein wichtiges Betätigungsfeld für alle Teilnehmer am Aktienmarkt, insbesondere bei spekulativer Absicht. Als Theorien über Kursverläufe existiert neben den herkömmlichen deterministischen Ansätzen, wie dem fundamentalanalytischen Ansatz und der tech-

nischen Analyse, die Random-Walk-Hypothese. 1

Die Random-Walk-Hypothese beschreibt den Kursverlauf als Zufallsprozess. Folgt der Aktienkurs einem solchen stochastischen Prozeß, so ist es mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung möglich, mathematische Modelle zu konstruieren, die die Aktienkursbewegung nachbilden können. Solche Modelle dienen in der Finanztheorie als Basis für Optionsbewertungsmodelle, vor allem das Black-Scholes-Modell (B/S-Modell) ² und Risikomaße, wie z.B. das Value at Risk (VaR). ³ Dies hat zur Konsequenz, daß nicht nur für die Spekulation mit der Aktie, sondern auch für die Genauigkeit der o.g. Modelle eine exakte Modulierung der Aktienkursbewegung eine entscheidende Rolle spielt.

Ein stochastischer Prozeß (Pz), der als mathematisches Modell häufig zur Abbildung der Aktienkursbewegung genutzt wird, ist der Wiener Prozeß (WP). In dieser Arbeit soll nun der Frage nachgegangen werden, ob sich der WP überhaupt zur Abbildung von Aktienkursbewegungen eignet. Hierfür wird zunächst die beobachtbare Aktienkursbewegung dargestellt. Im weiteren Verlauf erfolgt eine Beschreibung des WP an sich, um dann im 4. Abschnitt ein Modell für die Aktienkursentwicklung vorzustellen, das selbst einen WP darstellt. Dieses Modell wird hinsichtlich seiner Annahmen und Eigenschaften mit der tatsächlichen Bewegung verglichen, um die o.g. Frage im Fazit zu beantworten.

¹ Vgl. Grünwald,L (1980), S. 129.

² Vgl. Hahnenstein, L/ Wilkens, S./ Röder, K. (2001), S. 356.

³ Vgl. Spremann, K/ Winnhart, S.. (1996a), S. 31.

„Das Problem bei der Prognose von Kapitalmarkentwicklungen ähnelt den Problemen bei der Wettervorhersage“. ⁴ Es mischen sich deterministische Strukturen und stochastische Phänomene. Die beobachtbaren Kursnotizen resultieren schließlich aus dem Zusammenspiel beider Faktoren.

In der Theorie existieren dagegen zwei sich ausschließende Hypothesen der Aktienkursentwicklung, einmal die der technischen Analyse und die Theorie des Random-Walks, wobei diese mit der Fundamentalanalyse in Einklang gebracht werden kann. Dabei gehen die verschiedenen Chart-Theoretiker alle von der Annahme aus, daß sich aus der Kursentwicklung der Vergangenheit auf die zukünftige Kursentwicklung schließen läßt. Im Gegensatz dazu basiert die Random-Walk-Theorie auf der Annahme, daß der Aktienpreis einem

Zufallspfad folgt ⁵ unter der Maßgabe, daß jede Variable, deren Wert sich über die Zeit unvorhersehbar ändert, einem stochastischen Pz folgt. ⁶ Da die Charttechnik -wenn überhaupt- nur über eine sehr geringe Prognosequalität verfügt ⁷ und auch keine mathematischen Modelle liefert, wird sie im folgenden nicht weiter betrachtet.

Studien von Aktienkurszeitreihen zeigten immer wieder, daß die gefundenen Zeitreihen zufällig erzeugten Zickzacklinien ähneln. Des weiteren wurde entdeckt, daß die Renditen zweier aufeinanderfolgender Perioden unkorreliert

sind. ⁸ Dabei basiert die ökonomische Begründung für dieses Phänomen auf der Annahme effizienter Märkte, d.h. der Preis eines jeden Guts zu einem bestimmten Zeitpunkt reflektiert einen Ausgleich von Angebot und Nachfrage. Es wird angenommen, daß er den richtigen Wert des Objekts widerspiegelt und alle existierenden Informationen in die Preisfindung, d.h. Bewertung eingeflossen sind. Trifft eine neue wertbeeinflussende Information am Markt ein, ändert sich der Preis bis ein neuer Gleichgewichtspreis erreicht wird, der den neuen

⁴ Loistl, O. (1994),S. 92 vgl. auch im folgenden Loistl., O (1994), S. 92.

⁵ Vgl. Fama, E.F. (1965), S. 34 und Spremann/ K, Winnhart, S. (1996a), S. 33.

⁶ Vgl. Hull J.C. (2000), S. 218.

⁷ Vgl. Grünwald,L (1980), S. 138..

⁸ Vgl. Spremann, K/ Winnhart, S. (1996a), S. 33.

- 3 -Wert reflektiert. ⁹ Diese Anpassung geschieht ohne Zeitverzögerung, es gibt so-mit keine temporäre Fehlbewertung. Entscheidend hierbei ist, daß der Pz neuer Nachrichten stochastischer Natur ist, denn jede Information, die prognostiziert hätte werden können, wäre keine neue Nachricht im Zeitpunkt ihres Auftre-tens. Hieraus folgt, daß auch der Aktienkurs, da er ohne zeitliche Verzögerung den Gleichgewichtspreis, somit fairen Wert, der Aktie widerspiegelt, selbst

einem Zufallsprozeß folgt. ¹⁰ . Im Gegensatz zu anderen Märkten kann beim Aktienmarkt im allgemeinen von einem effizienten Markt ausgegangen werden. 11

Des weiteren gilt am Aktienmarkt die schwache Informationseffizienz, die

durch den starken Wettbewerb aufrecht erhalten wird. ¹² Aus der Informationseffizienzannahme ergeben sich zwei Bedingungen. Zunächst reicht es nicht aus, nur eine Zufallsvariable zu modulieren, da diese den Verlauf nicht widerspiegelt. ¹³ Des weiteren darf es dieser Pz nicht gestatten, daß die Kenntnis der Vergangenheit eine bessere Prognose der Zukunft ermöglicht, als wenn nur die heutige Realisation bekannt ist.

Geht man nun von diesem stetigen Verlauf der Kurse aus, so interessiert als nächstes die Verteilung der Preisänderung der Aktie. Ursprünglich ging man von einer Normalverteilung (N) der Renditen aus. Empirische Tests bewiesen jedoch, daß die Renditeverteilung eher leptokurtisch ist, d.h. die Verteilung

weist mehr Masse um den Mittelwert (Mw) und in den Enden auf. ¹⁴ Dies impliziert, daß die Aktienkursbewegung stärker diskontinuierlich ist, d.h. es existieren mehr starke Kursausschläge, als bei der N erwartet. 15

Festzuhalten bleibt, daß Aktienkurse einem stetigen, nicht negativen zufälligen Pfad folgen, wobei die Renditeverteilung, die aus den Preisveränderungen von Intervall zu Intervall entsteht, eher leptokurtisch, also höchstens annähernd normalverteilt ist.

⁹ Vgl. Brealey (1983), S. 3f.

¹⁰ Vgl. Spremann, K/ Winnhart, S. (1996a), S. 33f.

¹¹ Vgl. Brealey (1983), S. 5

¹² Vgl. Hull J.C. (2000), S. 219.

¹³ Vgl. auch im folgenden Spremann, K/ Winnhart, S. (1996a), S. 34

¹⁴ Vgl. Nagel, H. (2001), S. 7

¹⁵ Vgl. Fama, E.F. (1965), S. 74.