1. Sachananlyse

Das Thema „Zahlzerlegungen bis 10“ lässt sich in den Arbeitsbereich 1 „Grunderfahrungen und Arithmetik“ zu Beginn des ersten Schuljahres in den Bildungsplan der Grundschule einordnen. Die Kinder sollen im handelnden Umgang mit Dingen gewisse mathematische Grundvorstellungen entwickeln und zudem soll ihr bewegliches Denken gefördert werden.

Für die Entwicklung des Zahlverständnisses im Unterricht ist es wichtig sich über die verschiedenen Zahlaspekte bewusst zu werden. Man unterscheidet hierbei den Kardinalzahlaspekt (Zahlen beschreiben die Mächtigkeit von Mengen), Ordinalzahlaspekt (Zählzahl und Ordnungszahl), Maßzahlaspekt, Operatoraspekt, Rechenzahlaspekt und schließlich noch den Codierungsaspekt.

Vorallem Kardinalzahl- und der Ordinalzahlaspekt sind für das Verständnis des Teile-Ganzes Konzepts von großer Bedeutung. Dieses Konzept ermöglicht es, Zahlen als Zusammensetzungen aus anderen Zahlen zu sehen (z.B. die Zahl 5 als Zusammensetzung der Zahlen 2 und 3). Das Teile-Ganzes Konzept befasst sich somit mit den Beziehungen zwischen dem Ganzen und seinen Teilen. Um zu diesem Verständnis zu gelangen, bedarf es einer Klassifikationsleistung, dem gedanklichen Zusammenfassen von einzelnen Dingen (Zahlen) zu einem Ganzen (Mengenbildung). Die Beherrschung bzw. das Verständnis des Teile-Ganzes Konzepts soll den Lernenden von zählenden zu nichtzählenden Rechenstrategien hinführen. Somit ist es gleichzeitig wichtige Voraussetzung für das Verstehen effektiver nichtzählender Strategien. Zu diesen gehören:

- Addition und Subtraktion der 0, 1 und 2

- Verdoppeln/Halbieren

- Zehnersummen

- Kraft der Zehn

- Kraft der Fünf

Sowie die Ableitungsstrategien:

- Tauschaufgaben

- Verdoppeln plus 1/Verdoppeln plus 2

- Nachbaraufgaben

Das Teile-Ganzes Konzept beinhaltet auch die Entwicklung des Verständnisses für Kompensation (das Ganze ändert sich nicht, wenn ein Ding von einem Teil zu einem anderen Teil bewegt wird) und Kovarianz (wenn man einen Teil eines Ganzen um eins vergrößert, vergrößert sich auch das Ganze um

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eins). Durch die Möglichkeit Zahlen als Zusammensetzungen aus anderen Zahlen zu sehen, erlangen die Lernenden ein Operationsverständnis, welches es ihnen ermöglicht, zwischen der Ebene der konkreten Handlungen, der bildlichen und sprachlichen Darstellung bis zur symbolischen Ebene von Zusammenhängen hin- und her übersetzen zu können.

Auch die Simultan-Erfassung (Anzahlerfassung mit einem Blick ohne zu zählen) erleichtert es den Lernenden ein Zahlverständnis zu entwickeln. Ab fünf werden Anzahlen dann quasi-simultan erfasst, d.h. die Zahlen werden in simultan-erfassbare Teilmengen zerlegt.

Die bisher genannten Aspekte stellen Voraussetzungen für den späteren Umgang mit den Grundrechenarten dar. Auf deren Zukunftsbedeutung wird in der didaktischen Analyse noch genauer eingegangen.

2. Didaktische Analyse

Die wahrscheinlich wichtigste Leistung des ersten Schuljahres ist die Anwendung des Teile-Ganzes Konzepts. Die Schüler sollen die Zahlen als Zusammensetzung aus anderen Zahlen verstehen also Zahlen nicht als Symbole, sondern als Mengen, die wiederum aus Teilmengen zusammengesetzt sind, verstehen. Das Teile-Ganzes Konzept befasst sich mit Beziehungen zwischen dem Ganzen und seinen Teilen. Es hilft den Kindern Vorstellungen von Zahlen (Kardinalzahl- und Ordinalzahlaspekt) zu entwickeln, diese auszubauen, zu systematisieren sowie eigenständige Rechenstrategien zu finden. Die Schüler werden mit Gesetzmäßigkeiten vertraut und lernen diese zu nutzen. Das Teile-Ganzes Konzept ist eine notwendige Voraussetzung für das Verständnis des Addierens und Subtrahierens, und durch das Zerlegen der Zahlen in mehrere Teile auch für die Division und Multiplikation.

Erlangen die Kinder das Verständnis des Teile-Ganzes Konzepts nicht, besteht die Gefahr, dass die Kinder bei zählenden Rechenstrategien hängen bleiben und gewisse Aufgaben, besonders bei der Erweiterung des Zahlenraums, nicht bzw. uneffektiv bewältigen können. Eine Hilfe sich vom zählenden Rechnen zu entfernen besteht in der strukturierten Darstellung von Zahlen. Wenden Kinder ihre Kenntnisse der Kompensation und Kovarianz beim Teile-Ganzes Konzept selbstverständlich an, so kann man davon ausgehen, dass die Zahlen als Mengen verstanden werden . Dieses Verständnis ist u.a. wichtige Voraussetzung für das Erlernen weiterer Rechenstrategien.

Die Lehrperson führt die Schüler von der eher bildhaften Darstellung über das konkrete Handeln hin zur symbolischen Ebene.

Notwendige Vorkenntnisse, die Schüler vor der Zahlzerlegung automatisiert haben sollten sind u.a. Gegenstände der Umwelt nach Farbe, Form, etc. sortieren und zusammenfassen, Zahlen lesen und

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schreiben, Zahlen mit verschiedenen Modellen darstellen können(Wendeplättchen, Stechwürfel, Äpfel,...). Mit Hilfe dieser regelmäßig angeordneten Objekte erlangen die Kinder die Fähigkeit Zahldarstellungen vor dem inneren Auge ohne konkret vorliegendes Material zu sehen und Beziehungen zwischen Gegenständen zu erkennen. Zudem sollten die verschieden Zahlaspekte(Kardinal- und Ordinalzahlaspekt) verstanden sein.

Mögliche Schwierigkeiten beim Thema der Zahlzerlegung könnten darin bestehen, dass die Schüler Zahlen nicht als Menge verstehen. Insbesondere die Null als Menge könnte Schwierigkeiten bereiten. Diese Schwierigkeiten verlangen besondere Fördermaßnahmen, wie z.B. das Veranschaulichen anhand von Mengenmodellen.

Das wohl wichtigste Lernziel der Zahlzerlegung liegt folglich im Verständnis und der Anwendung des Teile-Ganzes Konzepts (ausführliche Erklärung s.o) und dem daraus erfolgenden Erwerb elementarer mathematischer Fähigkeiten.

Weitere, auch im Bildungsplan erwähnte Lernziele sind u.a.:

- Sachverhalte der Umwelt mathematisch erfassen und beschreiben

- Fähigkeiten zur Lösung mathematischer Probleme zu entwickeln

- Einsichten in den Zahlbegriff, in Zahlverknüpfungen und in Zahlbeziehungen zu gewinnen

- eine positive Einstellung zur Mathematik aufzubauen

Besonders in der Grundschule gehen Lernprozesse von Vorkenntnissen und Erfahrungen der Kinder aus. Durch den handelnden Umgang mit Gegenständen aus der Umwelt oder dem Einsatz geeigneter Arbeitsmittel wird bei den Kindern ein Interesse für die Mathematik geweckt (auch im täglichen Leben). Der Mathematikunterricht in der Grundschule sollte den Kindern vielfältige Gelegenheiten zu selbsttätigem und individuell angemessenem Lernen bieten, denn so können die Kinder ganzheitlich gefördert werden bzw. ihre individuellen Fähigkeiten und Stärken entwickeln und ausbauen Ein Ziel des Mathematikunterrichts ist, den Kindern eigene Entscheidungen in Bezug auf Lösungsprozesse zu ermöglichen. Durch zusätzliche Arbeitsaufträge wie Selbstkontrolle lernen Kinder sich selbst zu reflektieren, ihre Fehler zu erkennen und selbst zu berichtigen. Hier fördert Mathematikunterricht zusätzlich Genauigkeit und Sachlichkeit.

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