Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis   III

Tabellenverzeichnis   III

Abk  ürzungsverzeichnis  IV

1.  Einleitung  1

2.  Finanzwirtschaftliche Grundlagen.  3

2.1  Der LIBOR  3

2.2  Spot Rates und Forward Rates  4

2.3  Caps und Caplets  9

2.4  Floors und Floorlets.  11

2.5  Swaps und Swaptions  12

2.6  Das Geldmarktkonto.  13

3.  Finanzmathematische Grundlagen  16

3.1  Martingale, risikoneutrale und äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaße.  16

3.2  Stochastische Prozesse und stochastische Differentialgleichungen  17

3.2.1  Der Markov-Prozess  17

3.2.2  Wiener Prozesse  18

3.2.3  Itô Prozesse und Itôs Lemma  21

4.  Zeitstetige Zinsmodelle  24

5.  Das BG-MModell  27

5.1  Annahmen des Modells  27

5.1.1  Lognormalverteilung des Forward LIBOR  27

5.1.2  Arbitragefreiheit  29

5.2  Das Modell  31

5.3  Bewertung von Derivaten im BG-MModell.  36

5.3.1  Swaps.  36

5.3.2  Caps  37

5.3.3  Floors  42

5.3.4  Swaptions  43

5.4  Kalibrierung des Modells  47

6.  Kritik und Weiterentwicklungen des BG-MModells  49

7.  Zusammenfassung und Schlussfolgerungen.  51

Literaturverzeichnis   VII

Anhang X   

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: LIBOR-Zinsstruktur vom 1. März 2007  4

Abbildung  2: Forward, Spot Rates und Diskontierungsfaktoren  7

Abbildung  3: Ausgleichszahlungen beim Cap  10

Abbildung  4: Zahlungsprofil eines Caplets  11

Abbildung  5: Zahlungsprofil eines Floorlets.  12

Abbildung  6: Der Wiener Prozess  20

Abbildung  7: Zeitstetige Zinsstrukturmodelle.  24

Abbildung  8: Normalverteilte Wahrscheinlichkeitsverteilung.  28

Abbildung  9: Lognormale Wahrscheinlichkeitsverteilung.  29

Abbildung  10: Der Forward LIBOR  34

Abbildung  11: Caplet-Preise in Abhängigkeit der Volatilität  42

Abbildung  12: Swaption-Werte in Abhängigkeit der Strike Rates und Volatilitäten  46

Tabellenverzeichnis   

Tabelle 1:  Arbitragetabelle zur Herleitung der Forward Rates  5

Tabelle 2:  Kassa-, Terminzinssätze und Zerobondpreise.  40

Tabelle 3:  Bewertung eines Caps  41

Tabelle 4:  Bewertung von Swaptions.  46

Tabelle A-1:  LIBOR Zinssätze am 1. März 2007  X

Tabelle A-2:  Caplet-Preise in Abhängigkeit der Volatilität  X

Tabelle A-3:  Swaption-Werte mit variierenden Strike Rates und Volatilitäten.  XI

III

Abkürzungsverzeichnis

ACT……………………………….. Actual

BBA……………………………….. British Bankers’ Association

BGM………………………………. Brace, Gatarek und Musiela

EURIBOR ……………………….... European Interbank Offered Rate

FRN ……………………………… Floating Rate Notes

HJM ……………………………… Heath, Jarrow und Morton

LIBOR ……………………………. London Interbank Offered Rate

WWW …………………………….. World Wide Web

IV

1. Einleitung

Im Jahr 1997 wurde ein neues Modell zur Bewertung von Zinsderivaten von Brace, Gatarek und Musiela ¹ vorgestellt. Das nach seinen Autoren benannte BGM-Modell gehört zu der Modellklasse der Marktmodelle, die versuchen die direkt am Markt beobachtbaren Zinsen zu beschreiben. Das Ziel des LIBOR-Markt-Modells besteht darin, die Dynamik der Zinsstruktur durch eine geeignete mathematische Modellierung möglichst genau zu beschreiben und damit Zinsderivate zu bewerten. Hierzu wird den Kapitalmarktzinsen ein Wiener Prozess und eine lognormale Verteilung unterstellt, so dass sich zur Bewertung von Europäischen Optionen die Black-Formel, die Standardformel zum Pricing dieser Optionen, ergibt.

Gleichzeitig zu der Arbeit von Brace, Gatarek und Musiela entstanden noch weitere grundlegende Arbeiten über Marktmodelle von Miltersen, Sandmann und Sondermann (1997) und Jamshidian (1997), dessen Modell zur Herleitung von Terminswaps dient. Diese LIBOR-Marktmodelle modellieren die Pfade von LIBOR-Terminzinssätzen für zukünftige Anlagezeiträume. Heath, Jarrow und Morton (1992) entwickelten einen Modellrahmen für die arbitragefreie Bewertung von Zinsderivaten, der in den LIBOR-Marktmodellen aufgegriffen wird. Allerdings ist es nicht möglich im HJM-Modell lognormalverteilte Forward Rates zu verwenden, da die Funktion dieser Zinssätze explodieren würde. Diesen Fehler haben Brace, Gatarek und Musiela behoben.

In dieser Arbeit werden zunächst die zum Verständnis des BGM-Modells notwendigen finanzwirtschaftlichen Grundlagen erläutert, Forward Rates werden definiert, Derivate auf die Zinsstruktur und zugehörige Portefeuilles aus Derivaten eingeführt und mit Hilfe von Zahlungsprofilen charakterisiert. Danach werden die erforderlichen mathematischen und stochastischen Konzepte beschrieben. Es wird allerdings keine mathematische Ausarbeitung erfolgen, sondern vielmehr werden die Bedeutung und Aussagen der einzelnen Konzepte erklärt.

¹ Diese Seminararbeit basiert auf dem Artikel Brace, A.; Gatarek, D.; Musiela, M. (1997): Market

Model of interest rate dynamics, Mathematical Finance 2, S. 127-147.

1

In Kapitel 4 erfolgt ein Überblick über zeitstetige Zinsstrukturmodelle und eine Einordnung des BGM-Modells. Zur Beschreibung dieses Modells werden in Kapitel 5 grundlegende Annahmen über die Zinskurve getroffen, d.h. über die zugrunde liegenden stochastischen Prozesse. Im Anschluss wird eine Formel zur Modellierung des Forward LIBOR nach Brace, Gatarek und Musiela hergeleitet und die zu Beginn eingeführten Derivate und zugehörige Portefeuilles bewertet. Am Ende von Kapitel 5 wird eine Möglichkeit der Kalibrierung des Modells mithilfe der hergeleiteten Black-Formel für Caps erläutert. Anschließend werden Kritikpunkte und Weiterentwicklungen des BGM-Modells aufgezeigt. Kapitel 7 fasst zusammen.

2

2. Finanzwirtschaftliche Grundlagen

2.1 Der LIBOR

“BBA LIBOR is the most widely used benchmark or reference rate for short term interest rates world-wide” (BBA 2007, WWW).

Der LIBOR (London Interbank Offered Rate) ist der seit Januar 1986 täglich um elf Uhr fixierte Durchschnittszinssatz, zu dem sich die in London ansässigen Geschäftsbanken gegenseitig Geld leihen. Er wird von der momentan 253 Mitglieder umfassenden British Bankers’ Association (BBA), einer Interessenvertretung der Banken Großbritanniens, für sehr kurze und monatliche, bis zu einjährigen Laufzeiten und verschiedene Währungen festgelegt und über Nachrichtendienste veröffentlicht. Er wird u.a. in den Währungen Britisches Pfund, US Dollar und Euro ermittelt. Allerdings besitzt der Euro LIBOR gegenüber dem EURIBOR als Referenzzinssatz nur wenig Bedeutung. Für Britische Pfund wird als Day Count Convention ACT/365 verwendet, für alle anderen Währungen ACT/360. Diese Tagesberechnungskonventionen dienen der Ermittlung der Periodenlänge, d.h. sie geben Auskunft darüber, nach welcher Methode der Zeitraum zwischen zwei bekannten Daten ermittelt wird. Bei den Methoden ACT/365 bzw. ACT/360 wird im Zähler die tatsächliche Anzahl der Tage ermittelt und durch vereinbarte Zählweise der Tage innerhalb eines Jahres, 365 bzw. 360, geteilt. ² Der LIBOR stellt als Angebotszinssatz (Offered Rate) die Briefseite für Interbankengeschäfte dar, zu denen nur Geschäftsbanken mit guter Liquidität und Bonität zugelassen werden, um das Gegenparteirisiko möglichst gering zu halten. Er dient vor allem zur Fixierung der Zinszahlungen bei variabel verzinslichen Anleihen und somit auch bei Swaps als Referenzzinssatz. Bei Floating Rate Notes (FRN) wird nach jeder Zinsperiode der Zinssatz für die kommende Periode neu bestimmt. Dies hat den Vorteil, dass diese Wertpapiere nur geringe Kursschwankungen gegenüber festverzinslichen Wertpapieren aufweisen. Orientiert sich dieser Zinssatz am LIBOR, so wird je nach Anpassungshäufigkeit der FRN der 3-Monats-, 6-Monats- oder 12-Monats-

² Vgl. Eller, R. (Hrsg.); Detlef Heinzel, D.; Knobloch, P.; Lorenz, B. (2002): Modernes Risiko-

management. Steuerung von Kassainstrumenten und Derivaten im Bankbetrieb, Wiesbaden, S. 22f.

3

LIBOR als Referenzzinssatz verwendet und ein bei Geschäftsabschluss vereinbarter Aufschlag zur Ermittlung der Zinszahlungen der nächsten Periode hinzugezählt. Abbildung 1 zeigt die in Monatsintervalle eingeteilte LIBOR-Zinsstrukturkurve vom 1. März 2007 mit normalem Verlauf. Der 3-Monats-LIBOR für Britische Pfund lag an diesem Tag bei 5,5325%. Dies ist der Zinssatz eines über drei Monate laufenden Interbankengeschäfts vom 1. März bis zum 1. Juni 2007. Somit ist der LIBOR der Zins für eine Kreditaufnahme über ein diskretes Zeitintervall.

Abbildung 1: LIBOR-Zinsstruktur vom 1. März 2007

2.2 Spot Rates und Forward Rates

Zur Beschreibung der verschiedenen Zinsarten wird zunächst ein Zerobond ) (T B t mit

der Laufzeit von t bis T eingeführt. Bei Fälligkeit T hat dieser einen Wert von 1, zu t < ist sein Wert kleiner 1. Dieser Preis wird auch als allen Zeitpunkten T

Diskontierungsfaktor bezeichnet, da er den Wert in t einer Geldeinheit in T darstellt. Die zugehörige Diskontierungsfunktion besteht aus den Preisen der Zerobonds mit den

³ Die zugehörigen Datengrundlage befindet sich in Tabelle A-1 im Anhang.

4

T ≥ . Aus diesen Werten lässt sich, wie gleich gezeigt Laufzeiten über alle Zeitpunkte t

wird, die Zinskurve ableiten.

Zur Bestimmung der Zinsarten werden Terminzinsen (Forward Rates) verwendet, die zu < ≤ einem Zeitpunkt t für eine Anlage von T bis S mit vereinbart werden. Ihre S T t

Formulierung fällt allgemeiner aus als die der Kassazinsen (Spot Rates). Darüber hinaus stellen sie die zukünftigen Kassazinsen aus der Sicht in t dar. Dies impliziert, wie gezeigt wird, dass sich Spot Rates mithilfe der Forward Rates durch Festlegung der Vorlaufzeit auf Null darstellen lassen. Für die folgenden Ausführungen wird Arbitragefreiheit angenommen, damit Forward und Spot Rates miteinander konsistent S − herzuleiten, wird sind. Um die Forward Rates zum Zeitpunkt t für den Zeitraum T ) (S B T der Zahlungsstrom eines Zerobonds dupliziert.

Tabelle 1: Arbitragetabelle zur Herleitung der Forward Rates

Aufgrund der angenommenen Arbitragefreiheit muss für den Zahlungsstrom ε in t

ε + ⋅ − = = S B T B S B ) ( ) ( ) ( 0

t t T

gelten, da in der Zukunft keine Zahlungen anfallen, d.h. kein Free Lunch existiert.

5

Aufgelöst nach , dem Diskontierungsfaktor einer Geldeinheit im Zeitpunkt S auf ) (S B T

den Zeitpunkt T , oder dem Kehrwert des zukünftigen Kassazinssatzes ⁴ − + und aus heutiger Sicht den Kehrwert der Forward Rate )) )( ( 1 ( T S S r T − + T S S T f t )) )( , ( 1 ( gewichtet mit dem Anlagehorizont bei diskreter Verzinsung. Es ergibt sich also

(2.1)

( S T f t Löst man nach der Forward Rate ) , auf, erhält man die Form der diskreten Terminzinsen von

(2.2)

Angenommen der Laufzeitbeginn sei nicht mehr in der Zukunft, sondern in t , ergeben sich die diskreten Spot Rates

(2.3)

Die Spot Rates entsprechen also den Forward Rates, falls die Laufzeit der Forward Rares in t beginnt. Dieser diskrete Zins wurde bereits in Abschnitt 2.1 als LIBOR für diskrete Zinsperioden eingeführt. Es sei darauf hingewiesen, dass in der Literatur auch häufig vom Kassa-LIBOR gesprochen wird. ⁵ Sind die Preise mehrerer Bonds mit unterschiedlichen Laufzeiten bekannt, so lässt sich die zugehörige Zinsstrukturkurve ermitteln (vgl. Abbildung 1). Vereinfacht lassen sich Kassazinsen wie folgt darstellen, B t definitionsgemäß einen Wert von 1 hat: da der Bond ) (t

⁴ − + entspricht dem Wert eines Geldmarktkontos im Zeitpunkt S für eine Anlage von 1 )) )( ( 1 ( T S S r T

im Zeitpunkt T (s. Abschnitt 2.2.5).

⁵ Vgl. Branger, N.; Schlag, C. (2004): Zinsderivate, Modelle und Bewertung, Berlin Heidelberg, S. 150.

6

(2.4)

( S T L t Analog lässt sich Gleichung (2.2) auch als Forward LIBOR ) , bezeichnen.

Abbildung 2 soll den Zusammenhang zwischen Forward Rates, Spot Rates und den zugehörigen Diskontierungsfaktoren verdeutlichen.

Abbildung 2: Forward, Spot Rates und Diskontierungsfaktoren

− + T S S T f t Geht man von einer stetigen Verzinsung aus, ist der Term ) )( , ( 1 in

− ) )( , ( T S S T f t e Gleichung (2.1) durch zu ersetzen. Hieraus erhält man die stetigen Forward Rates

(2.5)

und die stetigen Spot Rates

(2.6)

Um die Intervalllängen zu normieren, lässt man diese gegen Null laufen und erhält die instantanen Forward Rates. Diese Zinsen gelten für eine Anlage für ein infinitesimales Zeitintervall. Man kann sich darunter die Forward Rate für Tagesgeld oder einen noch kürzeren Zeitraum vorstellen. Für die Forward Rate erhält man

(2.7)

bzw. für die Spot Rate, in diesem Fall Short Rate genannt

= = ) , ( lim ) ( ) ( T t f t f t r . (2.8)

t t → t T

Short Rates und instantane Forward Rates sind am Markt nicht beobachtbar, da nicht mit diesen Zinsraten gehandelt wird. Zerobonds werden jedoch tatsächlich am Markt gehandelt. Durch ihre Preise kann die Zinsentwicklung am Markt betrachtet werden. Der Zusammenhang zwischen instantanen Forward Rates und einem Zerobond lässt sich durch Auflösen von Gleichung (2.7) durch

(2.9)

darstellen. 6

⁶ Schmidt, T. (2005): Zinsstrukturmodelle, Universität Leipzig, S. 7.

8