Über Iterationen, Fraktale und Chaos

Es gibt eine Theorien, nach denen sich die Geschichte in Kreisen bewegt. An diese dachte vielleicht auch die Hauptfigur in Thomas Manns großem Ent-wicklungsroman Der Zauberberg. Eines Nachmittags steht Hans Castorp auf seinem Balkon und betrachtet die Kreisbewegungen der Zeiger seiner Uhr: „Da aber die Bewegung, an der man die Zeit mißt, kreisläufig ist, in sich sel-ber geschlossen, so ist das eine Bewegung und Veränderung, die man fast ebensogut als Ruhe und Stillstand bezeichnen könnte […].“ 1 Auf Erholungs-kur mag einem das so vorkommen. Schließt sich der Kreislauf menschlicher Ereignisse, scheint dieser allerdings auf einem höheren Niveau angelangt. Das Pendel der kulturellen Veränderungen wiederholt nicht einfach nur die Ereignisse. Im Chaos aller menschlichen Gedanken und Taten entstehen Inseln der Ordnung, die wiederum Anlaß zu neuen Formen des Chaos liefern. 2 Und dieses Wechselspiel dauert nun schon von Anbeginn des uns bekann-ten Universums. Nach den Vorstellungen der Kosmologen und Astrophysikern ist alles, was wir wahrnehmen, uns Menschen eingeschlossen Folge eben winziger Inseln der Ordnung im riesigen Meer des umgebenen Chaos.

1 Mann 1965, 489.

2 Stewart 1993, 7.

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Deren Theorie besagt, daß schon wenige Sekunden nach dem Urknall winzige Dichteschwankungen, sogenannte Texturen sich herausbildeten und später zu den Urkeimen der Galaxien entwickelten. Sind wir alle demnach Folge zufälliger Texturen aus der Zeit der Geburt unseres Universums, oder gibt es vielleicht doch hinter all dem einen göttlichen Plan, bzw. eine deterministische Urkraft, nach der bis zum heutigen Tage fieberhaft geforscht wird?

In einem Brief an seinen Kollegen Max Born schreibt Albert Einstein: „Du glaubst an den würfelnden Gott und ich an volle Gesetzlichkeit.“ 3 Ähnlich äußerte sich Einstein auch zu der Frage, was er von Werner Heisenbergs neuer Theorie der Quantenmechanik halte. Mit Einsteins Allgemeiner Relativ-itätstheorie und Heisenbergs Unschärferelation stehen sich bis heute zwei grundverschiedene philosophische Weltbilder gegenüber. Auf der einen Seite der absolute Determinismus, die prinzipielle Berechenbarkeit aller Vorgänge unseres Raum-Zeit-Kontinuums, mithin aller Vorgänge jenseits quantenmechanischer Effekte. Und auf der anderen Seite die prinzipielle Unbestimmt-heit aller subatomaren Prozesse, welche in ihrer faktischen Gesamtheit das Schicksal unseres Universums ausmachen. Die Suche nach der sogenannten Weltformel, die Gravitation und Quantenmechanik verbinden soll, beschäftigt heute Wissenschaftler und Philosophen gleichermaßen.

Eine Möglichkeit auf dem Wege des Verständnisses der Natur bietet nun seit der zweiten Hälfte unseres Jahrhunderts ein Bereich der Wissenschaft, der sich anfangs irgendwo zwischen Mathematik, Physik und der seit Norbert Wiener irgendwie alles tangierenden Kybernetik befand. Wie sooft in der Wissenschaft, besonders der experimentellen Physik war es mehr oder weni-ger der Zufall, der entscheidende Anstöße für einen neuen Lösungsansatz bescherte. 1975 arbeiteten die Physiker Henry Swinney und Jerry Gollup über dem Übergang von regelmäßigen Konvektionszellen zu vollständigen Turbulenzen in rotierenden Flüssigkeiten. Doch den von Lew Dawydowitsch Landau vorhergesagten Übergang konnten sie nicht bestätigen.

3 Zitiert nach: Ebenda.

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Zwei Jahre später baute der damals über physikalische Effekte nahe dem absoluten Nullpunkt arbeitende französische Wissenschaftler Albert Libchaber ein Benard-

Experiment (Abb. 1):

Bei diesem Experiment verwendete Libchaber flüssiges Helium, das auf -269°C abgekühlt war, also 4° über dem absoluten Nullpunkt. Die Temperatur der beiden Platten, zwischen denen sich das Helium befand, konnte extrem fein justiert werden. Mit seinen Resultaten konnte er zwar Landaus Theorie über die Entstehung von Turbulenzen widerlegen, aber das eigentliche Verhalten seiner Anordnung gab ihm Rätsel auf.

Bei einem bestimmten Temperatur-unterschied der beiden Platten zeigten die Meßfühler eine periodische Änderung der Temperatur. Die beiden Konvektionsrollen drehten sich also gleichmäßig.

Mit zunehmenden Temperaturunterschied jedoch war eine zweite, doppelt so lange Periode zu beobachten, dann eine dritte Periode, viermal so lang, eine weitere, achtmal so lang und schließlich stellte sich Chaos ein, es war keine Periode mehr feststellbar. Dies war das erste Experi-ment, bei dem die Entstehung von deterministischem Chaos nachvollzogen werden konnte; als reale Funktionsweise der Natur 4 . Dieses neu entdeckte Prinzip der Natur

beschrieb später der bedeutende Astrophysiker Stephen Hawking in einem auf Einstein bezugnehmenden Satz:

4 Vgl. Morfill 1991, 190f.

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„Alles spricht dafür, daß Gott ein unverbesserlicher Spieler ist und bei jeder sich bietenden Gelegenheit würfelt.“ 5 Nur läßt er sich eben nicht so einfach in seine Karten beziehungsweise Würfel schauen. Im Jahre 1979 traf Libchaber mit Mitchell Feigenbaum zusammen, einem Theoretiker aus Los Alamos. Fei-genbaum forschte zu der Zeit schon lange über dem Phänomen der Perioden-verdopplung und entwarf erste mathematische Modelle. Anhand dieser Formeln wußte Libchaber nun, was die von ihm beobachteten Periodenver-dopplungen zu bedeuten hatten. Das war der Durchbruch. Bildlich gesproch-en, machte sich nun überall Chaos breit. Beobachtet und mathematisch beschrieben wurde es angefangen von einem Strudel in der Kaffeetasse über die Wolkenentstehung und das Wetter, Entwicklung von Tier- und Pflanzenpopulationen bis hin zu gesellschaftlichen Phänomenen der Kultur und Wirtschaft. Um einen Einblick in die mathematischen Hilfsmittel der Chaos-forscher zu bekommen, ist es notwendig, kleinen Schritt zurückzugehen.

Im siebzehnten Jahrhundert wurden wichtige Fortschritte auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung gemacht. Blaise Pascal und Pierre de Fermat befaßten sich 1654 mit Fragen des Zufalls in der Spieltheorie; zum Beispiel, wie man bei einem plötzlich unterbrochenen Glücksspiel den Spieleinsatz auftei-len müsse. Pierre Simon Laplace schließlich veröffentlichte im Jahre 1812 sein grundlegendes Werk Analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten. Mit dieser Theorie zeigte er, daß es Möglichkeiten gibt, die scheinbare Anarchie des Zufalls 6 zu ordnen und mathematisch zu beschreiben. Nach ihm wurde ein Dämon benannt, der mit dem Wissen über alle Atome, also deren Ort und Impuls, das Schicksal des gesamten Universums bis in jede Zukunft vorausbestimmen könne. Darüber, welchen Platz dann Gott einzunehmen hätte, ließ sich Laplace dann aber mit Napoleon auf keine Diskussion ein. Das es diesen Dämon wahrscheinlich nicht gibt, zeigt schon die nicht unendlich genaue Be-rechenbarkeit von einfachen Dreikörper-Systemen wie Sonne, Erde, Mond oder eines magnetischen Pendels, das sich entscheiden muß, über welchem der beiden Magnete es zum Stillstand kommt. Eine andere wichtige Etappe stellt die Einführung der komplexen Zahlenebene dar (Abb. 8). Friedrich Gauß definierte um 1800 die imaginäre Einheit als die

5 Hawking 1993, 64.

6 Morfill 1991, 36.