Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis   II

1.  Einleitung.  1

2.  Zufallszahlen  2

2.1.  Generierung von Zufallszahlen  2

2.2.  Deterministische Zufallszahlengeneratoren  4

2.3.  Transformation von Zufallszahlen  7

2.3.1.  Normalverteilung  7

2.3.2.  Exponentialverteilung  9

3.  Simulation.  11

3.1.  Aufbau eines Simulationsmodells.  11

3.2.  Auswertung der Simulation  14

4.  Fazit.  15

5.  Literaturverzeichnis  16

I

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Gleichverteilung  

Abbildung  2: Dichtefunktion der Normalverteilung  

Abbildung  3: Normalverteilung aus Zentralem Grenzwertsatz  

Abbildung  4: Dichtefunktion der Exponentialverteilung  

Abbildung  5: Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung  

Abbildung  6: Aufbau der Produktionsanlage  

Abbildung  7: Logikschaubild der Produktionsanlage.  

Abbildung  8: Subsystem.  

Abbildung  9: Schaubild zur Bestimmung der Ausfallzeitpunkts im Subsystem  

Abbildung  10: Zuverlässigkeitsfunktion R(t)  

II

1. Einleitung

Überall dort, wo Maschinen genutzt werden um Güter zu produzieren, kommt es zu Fehlern oder Ausfällen dieser Maschinen. Ausfälle können vom Zufall oder dem Ve rschleiß der Maschine bestimmt sein. Sind viele Maschinen in einer Produktionsanlage miteinander verknüpft, beeinflusst der Ausfall eines Elements die gesamte Fertigung. Aus Effektivitäts- und Kostengründen sind diese Ausfälle zu minimieren. Möglich ist dies zum Beispiel mittels Variation der Anordnung der Maschinen oder mit Systemr e-dundanzen. Diese Umgestaltung der Produktionsa nlage ist jedoch sehr aufwendig und teuer, und der Erfolg nur bedingt voraussehbar. Daher ist es sinnvoll, die Auswirkungen der Umgestaltungen auf das Gesamtsystem im Vorfeld zu untersuchen. Dies ist mit Hilfe von Simulationen möglich.

Die Analyse dieses Bereichs des Qualitätsmanagements an einem konkreten Beispiel ist Gegenstand der vorliegenden Ausarbeitung.

Mit Hilfe von Simulationen können komplexe mathematische Probleme gelöst werden. „Simulieren“ bedeutet vortäuschen, sich verstellen. Ziel einer Simulation ist es, ein Erscheinungsbild künstlich zu erzeugen, um damit die Effekte der Realität zu erreichen. ¹ Physikalische Simulationen sind beispielsweise Versuche im Windkanal oder Crashtests. Die im Folgenden aufgezeigten Simulationen beschreiben dagegen rein mathematische Zusammenhänge und werden daher auch als mathematische Simulation bezeic hnet. Die Simulation selbst wird mit Hilfe eines Rechners und einer geeigneten Software durchgeführt. Es ist wichtig, das vorliegende Problem möglichst genau in einem mathematischen Modell abzubilden, um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten. Simulationen werden dann eingesetzt, wenn das Problem zu komplex für eine numerische Lösung ist oder eine numerische Lösung unwirtschaftlich erscheint. Im Unterschied zu den üblichen numerischen Verfahren liefern mathematische Simulationen nur wahrscheinlic h-keitstheoretische Ergebnisse. ² Am Beispiel der Produktionsanlage ist als Ergebnis einer Simulation die Ausfallwahrscheinlichkeit als Funktion der Betriebsdauer zu erwarten. Um solche Simulationen durchführen zu können sind Zufallszahlen notwendig. Der Rechner muss einen Ausfallzeitpunkt bestimmen. Dies geschieht mittels der Zufallsza hlen. Deren Verteilung charakterisiert das Ausfallverhalten der Maschinen.

¹ Exner / Schmitz, S. 1

² Exner / Schmitz, S. 2

1

Es werden nachfolgend verschiedene Möglichkeiten zur Generierung von Zufallszahlen dargestellt und die dabei auftretenden Probleme diskutiert. Im Kapitel 3: Simulation, wird auf die Verwendung von Zufallszahlen und Simulation detailliert eingegangen. Das zu lösende Problem ist die Optimierung einer Produktionsanlage.

2. Zufallszahlen

2.1. Generierung von Zufallszahlen

Zufallszahlen sind zufällige Werte in einer Zahlenfolge die auf eine beliebige Weise erzeugt werden. Der Wert der jeweiligen Zahl und der wertmäßige Abstand zur vorhe rgehenden Zahl ist zufällig. Es treten also keine periodischen Wiederholungen innerhalb der Zahlenfolge auf. Das bedeutet, dass eine solche Zahlenfolge nicht mit einem arithmetischen Algorithmus beschrieben werden kann. Sollen Zufallszahlen mit Hilfe eines Rechners generiert werden, kommt es zu folgendem Problem: Der Rechner ist nicht in der Lage zufällige Zahlenwerte zu erzeugen, da hinter jeder Rechenoperation immer ein mathematischer Zusammenhang steht. D.h. die Werte werden errechnet und sind daher nicht mehr zufällig. Dennoch ist es möglich scheinbar zufällige Zahlen mittels eines Rechners zu generieren. Diese Zahlen werden Pseudozufallszahlen genannt. ³ Bis auf die Zufälligkeit erfüllen diese Pseudozufallszahlen die wichtigste Eigenschaft einer Zufallszahl: Die Zahlenwerte sind gleichverteilt, d.h. es treten keine Häufungen von Werten in einem bestimmten Intervall auf.

Abbildung 1: Gleichverteilung

³ Niedereiter, S. 161

2

Der Rechner ist des Weiteren in Folge des begrenzten Speicherplatzes nicht in der Lage unendlich viele Pseudozufallszahlen zu erzeugen. Die generierte Verteilung ist also nur eine diskrete Approximation der Gleichverteilung. ⁴ Ziel ist es, möglichst viele Zahlen zu erzeugen, um eine möglichst hohe Dichte im Einheitsintervall zu erreichen. ⁵ Nur die Zahlen der ersten Periode sind nutzbar. Ein Vorteil der computergenerierten Pseudozufallszahlen ist die Reproduzierbarkeit. Da die Zahlenfolge bei gleichem Startwert immer gleich ist, kann ein und dasselbe Experiment mehrmals mit denselben Zahlen d urchgeführt werden. Dabei könnte dann immer ein P arameter der Simulation variiert, und so dessen Auswirkungen auf das Ergebnis untersucht werden. ⁶ Programme welche Pseudozufallszahlen erzeugen werden Generatoren genannt. Die Güte der berechneten Za hlen hängen sehr stark mit der Arbeitsweise des jeweiligen Generators zusammen.

Nicht alle Simulationen können mit Pseudozufallszahlen durchgeführt werden , da es unter bestimmten Umständen erforderlich ist, echte Zufallszahlen zu benutzen. Dies ist beispielsweise bei Zufallsexperimenten der Fall, wo die Zufälligkeit von großer Bedeutung ist. Ein Gebiet der Mathematik, in dem echte Zufallszahlen unbedingt erforderlich sind, ist die Kryptographie. ⁷ Solche echten Zufallszahlen lassen sich mit Hilfe physik alischer Prozesse erzeugen. Zum Beispiel ist der Zerfall radioaktiven Materials zufä llig. Auch elektronisches Rauschen in einer Röhre ist zufällig. Über einen geeigneten Prozess zur Auswertung lassen sich so Zufallszahlen ermitteln. Diese Methoden erfo rdern jedoch zusätzliche Geräte und eine Schnittstelle zum Rechner. Sie verursachen somit Kosten und sind regelmäßig zu Warten. ⁸ Auf die physikalischen Zufallszahlengeneratoren wird im Folgenden nicht weiter eingegangen, da die physikalischen Zusammenhänge zu komplex sind.

⁴ Exner / Schmitz, S. 6

⁵ Exner / Schmitz, S. 12

⁶ Exner / Schmitz, S. 7

⁷ Kryptographie ist die Verschlüsselung von Daten. Würden hierfür Pseudozufallszahlen verwendet we r-

den wäre die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Wäre ein Wert des Schlüssels bekannt könnten alle

anderen daraus errechnet werden.

⁸ Exner / Schmitz, S. 6

3