Der Kern dieser Ausarbeitung besteht darin, den Grundgedanken der Fourierentwicklung und Fourier-Transformation darzustellen und zu erläutern. Dies beinhaltet auch eine tiefergehende Auseinandersetzung mit den mathematischen Berechnungsverfahren hierfür. Unter Zuhilfenahme des Programms MATLAB® , wird zunächst gezeigt, wie sich verschiedene periodische Signale mittels Fourierreihen approximieren lassen und welche Schwierigkeiten hierbei auftreten können. Im Detail wird dies anhand zweier typischer Funktionen – der Rechtecks- und der Dreieckfunktion – dargestellt.
Anschließend erfolgt eine vertiefte Auseinandersetzung mit der Fourier-Transformation als mathematisches Verfahren, Schwingungen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich und somit in den Spektralbereich zu übertragen. Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Auch bietet MATLAB selbst eine Funktion, eine Fourier-Transformation durchzuführen. Den jeweiligen Vor- und Nachteilen sowie mögliche Gefahren und Schwierigkeiten, die diese mit sich bringen, gilt es, sich bewusst zu machen.
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1. Einleitung
1.1. Zielsetzung
1.2. Aufbau der Arbeit
2. Grundlagen und Begriffsabgrenzungen
2.1. Von der periodischen Schwingung zur Fourierreihe
2.2. Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation
2.3. Annäherung an die Ursprungsfunktion
3. Fourierzerlegung
3.1. Das Rechtecksignal
3.2. Die Dreieckfunktion
3.3. Die Fourier-Transformation
4. Fazit und kritische Würdigung
Literaturverzeichnis
Anhang
1. Source Code und M-File für die Rechteckzerlegung aus Kapitel 3.1
2. Source Code und M-File für die Dreieckzerlegung aus Kapitel 3.2
3. Source Code und M-File für die Berechnung der Spektrallinien aus Kapitel 3.3
4. Darstellung des Aliaseffekts mit dem Programm „fourierzerlegung_Dreiecksignal_Spektrum_final.m“
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: periodisches Signal im Zeitverlauf
Abbildung 2: Verschiedene periodische und harmonische Schwingungen
Abbildung 3: Approximation einer Rechteckfunktion mit n = 1, 5, 100 und 50‘000
Abbildung 4: Approximation einer Dreieckfunktion mit n = 1, 5, 100 und 50‘000
Abbildung 5: Übersicht Fourier-Transformation im Zeit- und im Frequenzbereich
Abbildung 6: Fourier-Transformation eines Dreiecksignals
Abbildung 7: Übersicht Fourier-Transformation im Zeit- und im Frequenzbereich
Abbildung 8: Erläuterung des Leck-Effekts im Zeitbereich
1. Einleitung
Schwingungen kommen überall in der Natur, in allen Teilen der Technik, aber auch in unserer Gesellschaft vor. So schwankt die Tageshelligkeit in 24 stündigem Rhythmus. Oder der Kolben eines Motors pendelt ständig in einer bestimmten Geschwindigkeit hin und her. Auch finden sich in der Ökonomie zyklische Vorgänge wie bspw. der Schweinezyklus. Allen diesen Vorgängen ist gemein, dass Ihre Zustandsgrößen sich in mehr oder weniger regelmäßigen zeitlichen Abständen verändern. Somit können Schwingungen als zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen bezeichnet werden.[1]
Wiederholt sich eine Schwingung innerhalb einer Periodendauer, so spricht man von einer periodischen Schwingung. Lässt sich eine periodische Schwingung durch eine Sinusfunktion darstellen, so ist diese harmonisch. Eine wichtige praktische Anwendung von periodischen Schwingungen findet sich in der Modulationstechnik[2]
Viele (periodische) Schwingungen sind jedoch auf den ersten Blick nicht harmonisch, wie beispielsweise eine Rechteck- oder Dreieckschwingung.
Oftmals lassen sich recht kompliziert anmutende Schwingungen ebenfalls in ein einfacheres Problem „übersetzen“. Der französische Mathematiker Jean Baptiste Fourier (1768-1830) konnte nachweisen, dass jede beliebige periodische Funktion durch die Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen beschrieben werden kann.[3] Diese Erkenntnis wird als Fourierreihe oder Fourierentwicklung bezeichnet, aus der sich die Fourier-Transformation herleiten lässt, die die Höhe der Schwingungen in einem Frequenzspektrum darstellt. Die Wichtigkeit dieser Entdeckung zeigt sich auch im Internet. So erhält man fast 2,8 Mio. Suchergebnisse für den Begriff „Fourier-Transformation“. Dies überrascht auch nicht, wenn man sich bewusst macht, dass sich Fourier-Transformationen fast überall finden lassen[4], bzw. selbst der menschlichen Körper diese täglich nutzt, ohne dass man es direkt weiß.[5]
1.1. Zielsetzung
Der Kern dieser Ausarbeitung besteht darin, den Grundgedanken der Fourierentwicklung und Fourier-Transformation darzustellen und zu erläutern. Dies beinhaltet auch eine tiefergehende Auseinandersetzung mit den mathematischen Berechnungsverfahren hierfür. Unter Zuhilfenahme des Programms MATLAB®[6], wird zunächst gezeigt, wie sich verschiedene periodische Signale mittels Fourierreihen approximieren lassen und welche Schwierigkeiten hierbei auftreten können. Im Detail wird dies anhand zweier „typischen“ Funktionen – der Rechtecks- und der Dreieckfunktion – dargestellt.
Anschließend erfolgt eine vertiefte Auseinandersetzung mit der Fourier-Transformation als mathematisches Verfahren, Schwingungen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich und somit in den Spektralbereich zu übertragen. Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Auch bietet MATLAB selbst eine Funktion, eine Fourier-Transformation durchzuführen. Den jeweiligen Vor- und Nachteilen sowie mögliche Gefahren und Schwierigkeiten, die diesemit sich bringen, gilt es sich bewusst zu machen.
1.2. Aufbau der Arbeit
Nach dem einleitenden Kapitel 1 folgt in Kapitel 2 zunächst eine tiefergehende Auseinandersetzung mit den Begriffen der Schwingungen, Fourierreihe und Fourier-Transformation. Dieses Verständnis ist hilfreich für den weiteren Teil dieser Ausarbeitung. So wird dann im folgenden Kapitel 3 auf die Rechtecks- und Dreieckfunktion vertieft eingegangen. Hierzu wird zudem ein MATLAB Programm erstellt, um diese über Fourierreihen entsprechend darstellen zu können.
Das Kapitel 4 geht vertieft auf die Fourier-Transformation ein. Basierend auf den im 2. Kapitel gelegten Grundlagen, werden hier verschiedene Formen der Fourier-Transformation vorgestellt, mögliche Schwierigkeiten und Fehlerquellen werden herausgestellt und abschließend eine Fourier-Transformation mittels MATLAB durchexerziert.
Diese Ausarbeitung schließt ab mit einer Zusammenfassung der zuvor herausgearbeiteten Ergebnisse sowie einer kritischen Würdigung dieser.
2. Grundlagen und Begriffsabgrenzungen
2.1. Von der periodischen Schwingung zur Fourierreihe
Für Messungen an elektronischen Schaltungen werden häufig einfache periodische Testsignale benutzt. Ein solches periodisches Signal u(t) zeichnet sich dadurch aus, dass es sich mit seiner Periodendauer T ständig wiederholt.
Allgemein lässt sich ein periodisches Signal mathematisch mit der folgenden Formel beschreiben:
u(t) = u(t +T) = u(t + kT), wobei k eine ganze Zahl
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: periodisches Signal im Zeitverlauf[7]
Die wichtigsten periodischen Schwingungen sind die Sinusschwingung, Rechteckschwingung und Sägezahnschwingung.[8]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2: Verschiedene periodische und harmonische Schwingungen[9]
Eine periodische Funktion kann auch durch eine Linearkombination von mehreren Sinusfunktionen mit unterschiedlichen Frequenzen beschrieben werden. Eine solche Reihenentwicklung bezeichnet man als Fourierreihe. Nach Joseph Fourier kann jede periodische Funktion als Summe von harmonischen Funktionen (cos(x), (sin(x) – bestehend aus einer Grundschwingung und mindestens einer Oberschwingung[10] - beschrieben werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Oftmals reicht bereits eine kleine, endliche Anzahl von Fourier-Gliedern ( ) schon zu einer sehr guten Annäherung an die Funktion f(t).
2.2. Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation
Während die Fourierreihe eine periodische Funktion über ihren Zeitbereich beschreibt, so überträgt die Fourier-Transformation die Schwingungen in den Frequenzbereich und somit in ein Spektrum.
Die Berechnung der Fourierkoeffizienten und nennt man Fourier-Analyse. Diese stellen die Zerlegung der Funktion in ihre Frequenzanteile für das Integral von π bis -π dar. Es stellt mit 2 π die Dauer einer Periode dar.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Kenntnis der Fourierkoeffizienten beschreibt den gesamten Funktionsverlauf einer periodischen Funktion vollständig.
2.3. Annäherung an die Ursprungsfunktion
Anhand der oben aufgeführten Fourierreihe lässt sich bereits erkennen, dass diese mit einem Summenglied lediglich einer reinen Sinusfunktion entspricht. Für jedes weitere Summenglied kommt eine weitere Schwingung hinzu, deren Frequenz um das n-fache größer ist, als die ursprüngliche. Hierdurch erfolgt eine Approximation, somit eine Annäherung an die zu beschreibende Ursprungsfunktion. Je mehr Summenglieder mit einbezogen werden, desto genauer ist letztlich die Approximation. Theoretisch könnte dies bis ∞ weitergeführt werden. In der Praxis jedoch wird nach einer ausreichenden Anzahl aufgehört.
3. Fourierzerlegung
3.1. Das Rechtecksignal
Das Rechtecksignal bzw. die Rechteckschwingung bezeichnet ein periodisches Signal, das zwischen zwei Werten hin und her schaltet und in einem Diagramm über der Zeit einen rechteckigen Verlauf aufweist. Signale mit ideal rechteckigem Verlauf existieren jedoch nur theoretisch. So können die Flanken nicht senkrecht ansteigen und somit einen unendlich steilen Sprung ausführen. An diesen Stellen wären sie unstetig, somit nicht eindeutig definiert.
Rechtecksignale sind die Grundlage der digitalen Signalverarbeitung. Rechteckschwingungen (d. h. periodische Rechtecksignale) treten u. a. auf, als:
- Taktsignal für digitale Prozessoren und Controller,
- pulsweitenmoduliertes Signal bei Sensoren, Digital-Analog- und Analog-Digital-Umsetzern, Schaltreglern und Schaltnetzteilen sowie Klasse-D-Audioverstärkern,
- Testsignal an Oszilloskopen zum Abgleich der Frequenzkompensation der angeschlossenen Messspitzen,
- einfaches, digital erzeugbares Tonsignal (z. B. Signaltöne bei Geräten, Kinderspielzeug).
Unter der Voraussetzung eines idealen und symmetrischen Rechtecksignals ohne Gleichanteil ergibt sich folgende Fourierreihe:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Formel zeigt, dass das Frequenzspektrum eines symmetrischen Rechtecksignals ausschließlich aus ungeradzahligen harmonischen Schwingungen besteht. Die Amplituden der Oberschwingungen nehmen mit steigender Frequenz ab.
Wie sich nun die Approximation des Rechtecksignals mittels dieser Formel für verschiedene n berechnen und grafisch darstellen lässt, kann man recht komfortabel mit MATLAB bewerkstelligen. Hierzu steht im Anhang ein entsprechendes Script-File zur Verfügung, das es ermöglicht bis zu vier frei wählbare Approximationsfunktionen übereinanderzulegen und in einer Grafik darzustellen.
Approximiert man die Rechteckfunktion mit nur einer Oberwellenschwingung (n=1), so erhält man eine reine Sinusfunktion. Werden die Oberwellen nun auf 5 erhöht, so erreicht man schon eine deutlich bessere Approximation an die Ursprungsfunktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3: Approximation einer Rechteckfunktion mit n = 1, 5, 100 und 50‘000[11]
Werden die Anzahl der Oberwellenschwingungen auf 100 erhöht, so zeigt sich bereits eine sehr gute Anpassung an eine Rechteckfunktion, wenngleich es immer noch zu Überschwingungen kommt.
Erhöht man weiterhin die Anzahl der Oberschwingungen n (hier dargestellt unter N4 = 50000), so nähert man sich immer deutlicher der gesuchten Rechteckfunktion an.
Es fällt jedoch auf, dass das Ergebnis trotzdem kein ideales Rechtecksignal ergibt und nach wie vor Über- und Unterschwinger aufweist. Dafür ist das so genannte Gibbsche Phänomen verantwortlich. Dieses tritt immer an Unstetigkeiten einer Funktion auf. Unser Rechtecksignal weist an den Übergängen vom unteren zum oberen Signalpegel (und umgekehrt), somit seinen Flanken, Unstetigkeiten auf. Daher kommt es an diesen Stellen zu sog. Gibbschen Höckern oder Gibbschen Überschwingern. Je größer die Anzahl der Oberschwingungen, die bei der Rekonstruktion eines Signals benötigt werden, desto näher rücken die Höcker zusammen. Ihre Amplitude bleibt aber immer gleich.
Auch wenn die Überschwingungen wie in dem letzten Fall mit n=50000 in dieser Darstellung nicht mehr sichtbar sind, verschwinden sie nicht.
3.2. Die Dreieckfunktion
Ähnlich wie die im vorherigen Kapitel betrachtete Rechteckfunktion, lässt sich auch eine Dreieckfunktion mittels einer Fourierreihe darstellen.
Die Dreieckfunktion kommt vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen vor.
Die Aufgabenstellung selbst stellt bereits die entsprechende Reihenentwicklung für eine periodische, harmonische Dreieckfunktion vor. Diese lautet:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wie auch bei der Reihenentwicklung der Rechteckfunktion zeigt die Formel, dass das Frequenzspektrum eines symmetrischen Dreiecksignals ausschließlich aus ungeradzahligen Harmonischen besteht und dass die Amplituden der Oberschwingungen mit steigender Frequenz abnehmen.
Um auch für das Dreiecksignal entsprechende Approximationen zu ermitteln und darzustellen, wurde ein entsprechendes M-File programmiert. Diese basiert auf dem zuvor Gezeigten für die Rechteckzerlegung und ist ebenfalls im Anhang aufgeführt und näher beschrieben.
Im Gegensatz zur Rechteckzerlegung zeigt sich bei einer Dreieckfunktion schon nach wenigen Iterationen eine gute Anpassung. Das Dreiecksignal lässt sich einfach durch harmonische Schwingungen darstellen und somit ohne weitere Probleme synthetisieren. Außerdem weist es im Gegensatz zur Rechteckschwingung an keiner Stelle Unstetigkeiten auf. Sie ist an jeder Stelle eindeutig definiert und weist keinen Sprung auf. Daher tritt hier, anders als bei der Rechteckfunktion das Gibbsche Phänomen nicht auf.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4: Approximation einer Dreieckfunktion mit n = 1, 5, 100 und 50‘000[12]
3.3. Die Fourier-Transformation
Bisher wurden die beiden Rechteck- und Dreieckfunktionen mittels Fourierreihen im Zeitbereich dargestellt. Alternativ lassen sich diese auch mittels der Fourier-Transformation in einem Frequenzbereich darstellen. Sie dient somit der Bestimmung des Frequenzspektrums eines zeitbezogenen Signals.[13] Hierbei stellen die Spektrallinien die Amplitudenhöhe - d.h. die Intensität - der jeweiligen Schwingung dar, unabhängig von ihrer Periodenlänge.
Während Fourier-Reihen ausschließlich bei periodischen Funktionen eingesetzt werden können, lassen sich Fourier-Transformationen auch für aperiodische Funktionen verwenden. Ein Vorteil der Darstellung im Frequenzbereich liegt darin, dass in der Physik und Technik, physikalische Vorgänge einfacher beschrieben werden können, als durch Funktionen der Zeit oder des Ortes, da sie angeben, wie stark ein Signal in der entsprechenden Frequenz ist.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 5: Übersicht Fourier-Transformation im Zeit- und im Frequenzbereich[14]
Mit Hilfe der Fourier-Transformation kann das Frequenzspektrum eines zeitkontinuierlichen Signals ermittelt werden. Sollen Signale allerdings digital verarbeitet werden, so benutzt man meist zeitdiskrete Signale.[15] Für diese Klasse von Signalen gibt es die diskrete Fourier-Transformation (DFT). Der Unterschied beider Transformationen besteht darin, dass die DFT eher eine Folge als eine Funktion einer kontinuierlichen Variablen ist. Die DFT entspricht den Abtastwerten der Fourier-Transformation des Signals bei äquidistanten Frequenzen.[16] Vereinfacht ausgedrückt ist eine DFT eine Fourier-Transformation, bei der die Signalwerte zu bestimmten Abtastzeitpunkten ermittelt werden. Somit kann sie folgendermaßen beschrieben werden:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Sowohl in der Literatur als auch in der Praxis werden neben der FT und der DFT noch weitere „Formen“ der Fourier-Transformation vorgestellt, die nachfolgend kurz angesprochen werden sollen.
- IDFT: Die Inverse Diskrete Fourier-Transformation wandelt Daten aus dem Frequenzbereich wieder zurück in den Zeitbereich.[17]
- FFT: Die Fast Fourier-Transformation nutzt einen bestimmten Algorithmus der DFT, der auf einer geschickten Zusammenfassung von Summanden beruht. Es werden gewisse Symmetrieeigenschaften ausgenutzt, die den relativ hohen Rechenaufwand der DFT vereinfachen und beschleunigen. Eine Voraussetzung der FFT ist, dass die Anzahl der Abtastpunkte durch eine Zweierpotenz gegeben ist.[18] Der große Vorteil der FFT ist, dass sie auch mit leistungsschwächeren Prozessrechnern durchgeführt werden kann.[19]
- STFT und WT: Die Kurzzeitfourier-Transformation (STFT) und die die Wavelet-Transformation (WT) kommen v.a. dort zum Einsatz, wo sich die Frequenzstruktur im Zeitverlauf ändert.[20] Vereinfacht formuliert schneidet man mit einem Filter ein Stück (Fenster) aus einem langen Signal aus und transformiert dieses. Dies lässt sich sowohl für kontinuierliche als auch abgetastete Signale machen.
- DCT: Die Diskrete Kosinustransformation ist eine Sonderform der Fourier-Transformation, die hauptsächlich für die Bildbearbeitung verwendet wird. Sie ist im Prinzip ähnlich der DFT, verfügt aber über keinen Sinusanteil.[21]
Um sich den Rechenaufwand durch das Aufstellen und Berechnen der entsprechenden Funktionsgleichungen zu ersparen, bietet MATLAB in seinem Toolset eigens eine Funktion an, die es erlaubt eine FFT effizient durchzuführen.[22] Im Anhang findet sich ein entsprechendes M-File mittels dessen sich die Anzahl der Oberwellen und die Anzahl der Abtastpunkte frei bestimmen lassen.
Dieses Programm wurde nachfolgend bei der Berechnung der Spektrallinien für eine Dreieckfunktion zugrunde gelegt. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Spektrallinien berechnet aus den Standardeinstellungen, die aus Übersichtlichkeitsgründen bewusst so gewählt wurden. Diese sind 5 Sinuswellenzüge, 256 Abtastpunkte und eine Schrittgröße von 1.[23]
[...]
[1] Vgl. Magnus, K.; Popp, K.; Sextro, W. (2013): Schwingungen – Physikalische Grundlagen und mathematische Behandlung von Schwingungen; S. 1.
[2] Vgl. Guicking, D.: (2016): Schwingungen: Theorie und Anwendungen in Mechanik, Akustik, Elektrik und Optik; S. 65.
[3] Vgl. Weber, H.; Ulrich, H. (2012): Laplace-, Fourier- und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen für Ingenieure und Naturwissenschaftler; S. 1.
[4] Vgl. Preiner, J. (28.04.2005): Anwendung der Fourier-Analyse in der Praxis; https://archive.geogebra.org/de/examples/fourier/sachanalyse/anwendung_fourier-analyse.htm. (Hier finden sich gute Anwendungsbeispiele.)
[5] Vgl. Schulz, J. (04.05.2013): Täglich brauche ich Fourier-Transformationen; http://scilogs.spektrum.de/quantenwelt/t-glich-brauche-ich-fourier-transformationen/
[6] MATLAB® ist ein eingetragenes Warenzeichen von „The MathWorks Inc.“
[7] Buchwald, W.-P. (o. J.): Signal- und Systemtheorie; S. 6.
[8] Vgl. Buchwald, W.-P. (o. J.): Signal- und Systemtheorie; S. 6.
[9] Buchwald, W.-P. (o. J.): Signal- und Systemtheorie; S. 6.
[10] A.d.V.: Die Frequenz der Oberwellen müssen ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundwelle sein. (bspw. Grundwelle mit F= 50 Hz; Oberwelle mit F= 100 Hz.)
[11] Eigene Darstellung basierend auf dem M-File für die Rechteckfunktion (siehe Anhang S. XIII f.).
[12] Eigene Darstellung basierend auf dem M-File für die Rechteckfunktion (siehe Anhang S. IX f.).
[13] Vgl. O. V. (05.08.2007.): Fourier-Transformation; http://www.itwissen.info/Fourier-Transformation-Fourier-transformation-FT.htmlhttp://www.itwissen.info/Fourier-Transformation-Fourier-transformation-FT.html.
[14] Vgl. Raghavendra, A.; Cox, J.; Das, P.; Mitra, R. (2012): Sparse Fourier Transform (MIT) 2012; S. 2; https://www.slideshare.net/aarthi2991/sparse-fourier-transform
[15] A.d.V.: Der praktische Nutzen der DFT ergibt sich beispielsweise bei der Verarbeitung von (Nachrichten-) Signalen, Schwingungsuntersuchungen an mechanischen Objekten, dem Erkennen von Mustern oder dem Herausfiltern von Störgeräuschen.
[16] Vgl. Thiel, S. (2005): Diskrete Fourier-Transformation; https://www.uni-koblenz.de/~physik/informatik/DSV/DFT.pdf
[17] Vgl. Isen, W. F. (2008): DSP for MATLAB and LabVIEW: Fundamentals of discrete frequency transforms; S. 59.
[18] A.d.V.: N = 2X, wobei x eine natürliche Zahl ist
[19] Vgl. Berger, P. (2005): https://www.uni-koblenz.de/~physik/informatik/DSV/FFT.pdf S. 8.
[20] Vgl. Liebing, R. (2009): Akustische Bewertungsverfahren für transiente Funktionsgeräusche; S. 23-28.
[21] Vgl. Kristo, M. (2005): Beurteilung der Codiereffizienz von neuen Codierverfahren; S. 29.
[22] A.d.V.: Bei Thuselt, F.; Gennrich F. P. (2013): Praktische Mathematik mit MATLAB, Scilab und Octave für Ingenieure und Naturwissenschaftler; S. 292-299 finden sich interessante Beispiele inklusive Code für entsprechende periodische Signale, die noch mit einem Rauschen überlagert wurden. Auch der Lösungsteil dieses Buches zeigt eindrückliche Musterbeispiele hierfür.
[23] A.d.V.: Mit diesem Programm lässt sich auch sehr gut der Alias Effekt nachstellen, indem bspw. lediglich 12 Abtastpunkte gesetzt wurden. In einem solchen Fall lässt sich die Funktion nicht korrekt in ihr Spektrum zerlegen.