Eindimensionale (univariate) Häufigkeitsverteilung

Es werden n statistische Einheiten bezüglich des Merkmals X untersucht. X hat die Ausprägungen x 1 , x 2 , ..., x k .

Eine Urliste erhält man durch ungeordnete Aneinanderreihungen der n beobachteten Merkmalsausprägungen.

Die Absolute Häufigkeit [h i bzw. h(x i ), wobei i=1, ...,k] gibt die Anzahl der statistischen Einheiten an, die die Merkmalsausprägung X i besitzen.

Die Relative Häufigkeit (

gung X i an der statistischen Masse.

Absolute Summenhäufigkeit: H i bzw. H(X i ):

H i =h 1 +h 2 +...+h i

Beispiel:

Relative Summenhäufigkeit:

i = F

Beispiel: Urliste des Merkmals X: Anzahl der Jahre mit Englisch als Unterrichtsfach bis zum Abitur:

0, 7, 11, 8, 8, 11, 7, 7, 5, 8, 4, 7, 7, 0, 1, 1, 11, 1, 4, 4

05.10.1998

Übung:

Stetiges Merkmal, d. h. jeder Punkt im Intervall kann getroffen werden.

F i - F i-1 =f -> F i = F i-1 + f i

Die (empirische) Verteilungsfunktion (Summenhäufigkeitsfunktion) bei nicht klassierten Daten

Welcher Anteil der erhobenen Daten ist ≤ x?

Vorgegeben sind die Merkmalsausprägungen x 1 , x 2 , ..., x k eines metrisch skalierten Merkmals und die rangzugehörigen relativen Summenhäufigkeiten

{ F ⁱ F(x)

0 für x < 6 {

für x 1 ≤ x < x 2 6 ≤ x < 7 F(x) F 1

für x 2 ≤ x < x 3 F 1

F(8,5)=0,6

Häufigkeitsverteilung klassierter Daten

Problem: Wenn ein Merkmal „zu viele“ Merkmalsausprägungen aufweist, werden die primären Häufigkeitstabellen unübersichtlich.

Ausweg: Merkmalsausprägungen werden zu Klassen zusammengefasst.

Beispiel: Urliste mit 500 Einkommen liegt vor. Es werden folgende Klassen gebildet:

Klasse 1:

Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5: Klasse 6: Klasse 7:

^u (bzw. x ^{i o} Mit x i ) bezeichnen wir die untere (bzw. obere Klassengrenze. Offene Randklassen besitzen nur eine Klassengrenze.

Klassenbreite der Klasse k i :

∆X i = x ^{i u} - x i o

Klassenmitte:

^u + x ^{i o} X = x i i

Gleichverteilungsannahme: Alle Ausprägungen einer Klasse sind gleichmäßig über die Brei-

12.10.1998

Wie viele Klassen sollte man wählen?

Gemäß DIN 55302: 100 Ausprägungen: 10 Klassen

Gemäß Sturger: 1+3,332*log n (Beispiel: 1000 Ausprägungen: 11 Klassen [1+3.332*3])

log 10 1000 = 3 ->10 ^x = 1000 ; x=3 Exkurs:

Sekundäre Verteilungstafel

Die sekundäre Verteilungstafel enthält zu jeder Klasse die absolute (relative) Häufigkeit h ⁱ (f i ), sowie die zugehörigen Summenhäufigkeiten H i (F i ).

Beispiel:

Der Unterschied zu primären Verteilungstafeln besteht nur darin, daß diese nicht klassierte Daten enthalten.

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Die empirische Verteilungsfunktion für klassierte (klassifizierte) Daten

Vorgegeben ist eine sekundäre Verteilungstafel (insbesondere F i wird benötigt!).

Die empirische Verteilungsfunktion F(x):

F(X i

F(X 1

F(x) entsteht durch lineare Verbindung jeweils benachbarter Punkte.

Sekundäre Verteilungstafel:

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 12345678910111213141516

ð 25% waren 3,7 oder weniger Tage krank

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Histogramm zur Darstellung klassierter Daten

Voraussetzungen:

1. Randklassen müssen geschlossen werden. 2. Über den Klassengrenzen werden Flächen so errichtet, daß sie den etsprechenden absoluten bzw. relativen Klassenhäufigkeiten proportional sind.

Fall 1: Alle Klassen haben die gleiche Breite. Als Höhe der Rechtecke wählt man h i bzw. f i .

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0 2 4 6 8

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