Andere denkbare Fälle

2. Schritt: Wie bestimme ich aus der Kenntnis der vorgegebenen Punktepaare (x i ;y i ) die

) + = Regressionsgerade bx a y (Gesucht ist die Steigung b und der Achsenabschnitt a [Schnittpunkt auf der Y-Achse]).

)

Berechnung von a, b: Angenommen, eine Regressionsgerade liegt vor (

Beispiel (Hilfstabelle):

b

a=11-b*7

a=3,083

Als Regressionsgerade erhält man:

)

+ = x y 131 , 1 083 , 3

Interpretation der Zahlenwerte:

a=3,083 gibt die Fixkosten an, die unabhängig von der produzierten Menge anfallen. Steigt die Produktion um 1 Einheit, so steigen die Kosten um 1,131.

Mit Hilfe der Regressionsgeraden kann man Vorhersagen treffen.

1.) Schätzung:

2.) echte Prognose: falls X-Wert außerhalb der Range.

Beispiel: sei x=6

)

D. h. eine Produktion von 6000 Einheiten führt zu Kosten von 9.869,-

24.03.99

Beispiel: Zusammenhang zwischen Werbung (X) und Umsatz (Y)

3 Datenreihen aus 3 vergleichbaren Gebieten. Man berechne aus X;Y die Regressionsgerade

Man erhält in allen 3 Fällen das gleiche Ergebnis, obwohl die Stärke des Zusammenhangs zwischen X und Y in den 3 Fällen unterschiedlich ist (siehe Streudiagramme). Fazit: Wir benötigen ein Maß, um die Stärke des Zusammenhanges zwischen X und Y zu messen.

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Das Bestimmtheitsmaß (Determinationskoeffizient) R²

Klar ist: Je kleiner ∑ 2

e ist, desto stärker ist der Zusammenhang zwischen X und Y. Jetzt

i

wird auf dieser Grundlage ein normiertes Maß eingeführt.

Exkurs: normiertes Maß -> Wert zwischen 0 und 1.

) ) − + − = − Es gilt: ) ( ) ( ) ( y y y y y y A A i i i i

Eine Summierung über alle i (alle Punkte des Streudiagramms) liefert

Es gilt in diesem speziellen Fall:

∑

(

SQT

SQT = Sum of Square Total

SQE = Sum of Square Explained SQR = Sum of Square Regression

Im Idealfall (alle Punkte auf der Geraden) ist SQR=0 ∑ = )

0 ( e , d. h. SQE=SQT.

i

Als Maß definiert man:

≤ ≤ R ² Es gilt: 1 0

Weiterhin gilt:

Beispiel:

Korrelationskoeffizient

0

Vorgegeben: Zwei metrische Variablen zwischen denen ein linearer Zusammenhang vermutet wird.

Definition von R:

Man nennt ∑

Liegt ein positiver (negativer) Zusammenhang vor, so ist die Kovarianz positiv (negativ). Ist die Kovarianz sehr klein bzw. 0, so existiert kein linearer Zusammenhang.

Beispiel:

Nachteil der Kovarianz ist, daß sie nicht normiert ist (abhängig von gewählter Einheit, sie hat keine untere bzw. obere Grenze).

Normierung geschieht durch die Division der Kovarianz durch die Streuung von x;y.

Es gilt -1 ≤ R ≤ 1 (-1-> perfekte positive Relation; 1-> perfekte negative Relation).

R ist die Quadratwurzel aus dem Bestimmtheitsmaß R², versehen mit dem Vorzeichen der Steigung b (aus der Regression).

Falls R bekannt ist, ergibt sich für die Steigung b der Regression

= b

b =

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= R

Schwerpunkt: A y x ; A

= b

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsexperiment:

(1) Ergebnis des Experiments ist nicht vorhersehbar (2) Experiment kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.

Beispiel: Münzwurf, Würfeln

Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißen Elementarereignisse. Die Menge

aller Elementarereignisse heißt Ereignisraum und wird mit Ω bezeichnet.

Würfeln (1 Würfel): Ω={1,2,3,4,5,6} Beispiel 1:

Werfen einer geraden Zahl E={2,4,6} ⊂ Ω Ereignis:

⊂ -> Teilmenge von Exkurs:

Beispiel 2: ZE: Zweimaliges Werfen einer Münze:

Ω ={(K,Z);(Z,K);(K,K);(Z,Z)}

Ereignis: Erste Münze zeigt Zahl: E={(Z,K);(Z,Z)}

07.04.99

Beispiel: 3: Zweimaliges Werfen eines Würfels

Ω = { (1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6)

|Ω|=36

A=Augensumme ≤ 4 = { (1,1);(1,2);(1,3)

|A|=6

|X| => Mächtigkeit von X

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Komplement

A = Komplement von A

A =Augensumme >4: Ω-A

Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (Laplace-Wahrscheinlichkeit)

Definition:

W(A)

W(A)=Wahrscheinlichkeit von A

P(A)= Probability of A

Beispiel: Viermaliges Werfen einer Münze A=Mindestens dreimal Wappen W(A)=?

A={(W,W,W,Z);(W,W,Z,W);(W,Z,W,W);(Z,W,W,W);(W,W,W,W)}

|A|=5

W

W

Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit (R. von Mises)

Bezeichnung: h n (A) = Absolute Häufigkeit des Eintretens von A bei n-maliger Durchführung des Zufallsexperiments A={Zahl}

Beispiel:

Intuitiv beträgt die Wahrscheinlichkeit für „Zahl“ genau „²/ 3 “ oder 66,6%. Im Beispiel stabili-

siert sich die relative Häufigkeit

lim Es gilt: ∞ → n

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Axiome von Kolmogorov

Axiom = Satz, der nicht beweisbar ist, der zugrunde gelegt wird.

Von einer Wahrscheinlichkeit wird verlangt:

0 ≤ W(A) ≤ 1 1. Axiom:

2. Axiom: W(Ω)=1

3. Axiom: W(A∪B)=W(A)+W(B)

falls A∩B=φ (leere Menge) (falls A und B kein gemeinsames EE besitzen)

Der klassische und der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff erfüllt diese Axiome.

∪ = vereinigt Exkurs:

∩ = schneidet φ = leere Menge

Beispiel: ZE: Zweimaliges Werfen eines Würfels

A = Augensumme ≤ 4 B = Augensumme ≥

10 C = Augensumme 9 oder 10 {(4,6);(6,4);(5,4);(4,5);(5,5);(6,3);(3,6)}

Gesucht: W(A), W(B), W(C), W(A∪B), W(B∪C)

|Ω| = 36

W(A) = ⁶ / 36

W(B) = ⁶ / ³⁶ W(C) = ⁷ / 36

W(A∪B)= ¹² / 36 = ¹ / 3 A ∩ B=φ

≠ W(B) + W(C) oder B∩C={(5,5);(6,4);(4,6)} W(B∪C)= ¹⁰ / 36

Additionssatz für beliebige Ereignisse A,B

W(A∪B) = W(A) + W(B) - W(A∩B)

Im obigen Beispiel gilt: W(B∪C) = W(B) + W(C) - W(B∩C) = ⁶ / 36 + ⁷ / 36 - ³ / 36 = ¹⁰ / 36

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