Inhalt:

I)  Die Milchtüte  

1.  Die Milchtüte  

1.1  Der Aufbau  

1.2  Ist der Papierverbrauch minimal?  

1.3  Die Abweichung  

2.  Prozess des Modellbildens  

2.1  Was ist der Prozess der Modellbildung /  

der  Modellbildungskreislauf?  

II)  Tetra Pak  

1.  Wer ist Tetra Pak?  

2.  Entstehung eines Getränkekartons  

2.  1 Abfüllvorgang  

2.  2 Abfüllmaschinen  

3.  Verschiedene Verpackungen  

4.  Vorteile des Getränkekartons  

III)  Die Konservendose  

1.  Aufbau  

2.  Bei welchen Abmessungen (Durchmesser, Höhe) ist der  

Materialverbrauch  eines Zylinders mit dem Volumen 1 l minimal?  

3.  Verfeinerte Betrachtung der Konservendose  

4.  Konfrontation mit der Realität  

Literaturnachweis   

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I) Die Milchtüte

1. Die Milchtüte

1.1 Der Aufbau

Es gibt zwei verschiedene Arten von Milchtüten. Die erste hat einen quadratischen Boden und ist relativ hoch. Die zweite hat einen rechteckigen Boden und eine etwas größere Grundfläche.

Trennt man die Tüte mit quadratischem Boden an den Kleberändern auf, entsteht ein Rechteck mit Kleberändern an dreien der vier Außenseiten. Die Kleberänder sind jeweils 0,6cm breit. Die Höhe der Tüte beträgt 19,7cm und die Breite 7,1cm. Ober- und unterhalb der rechteckigen Seite der Tüte und an zwei halben Seiten rechts und links liegen Streifen der Höhe 1/2·a über die volle Breite. Eine Tüte mit den genannten Maßen hätte ein Volumen von V=a²·h=(7,1cm)²·19.7cm=993,077cm³.

Da die gefüllte Tüte leicht bauchig ist, passen auf jeden Fall 1l = 1000cm³ hinein. Es bleibt sogar noch etwas Luft, damit die Flüssigkeit, in dem Fall die Milch nicht gleich beim Öffnen herausschwappt.

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1.2 Ist der Papierverbrauch minimal?

Die Frage die wir uns stellen ist, ob eine Firma wie Tetra Pak eine Milchtüte optimal, das heißt mit minimalem Papierverbrauch produziert. Minima und Maxima einer Funktion kann man mit der Nullstelle der ersten Ableitung berechnen. Daraus ergibt sich folgende Rechnung:

Man stellt eine Funktion für den Materialverbrauch in Abhängigkeit von a und h auf. M(a,h)=“Höhe“·”Breite”= (h+2·a/2+2·0,6)·(4a+0,6)

Das Volumen (1Liter = 1000cm³) steht fest, das heißt man kann a²·h = 1000 als Nebenbedingung aufstellen und diese in die Funktion einsetzen. Dadurch erhält man eine Funktion, die nur noch von a abhängig ist. M(a) = (1000/a²+a+1,2)·(4a+0,6) = 4a²+5,4a+0,72+4000/a+600/a² , mit a>0

Die Ableitung dieser Funktion lautet:

M'(a) = 8a + 5,4 - 4000/a² - 1200/a³

Setzt man diese Funktion gleich Null, erhält man eine Nullstelle bei ca. 7,8cm.

1.3 Die Abweichung

Das Ergebnis überrascht uns, da der reale Wert bei 7,1cm liegt. Bevor man aber versucht die Gründe zu suchen, sollte man die prozentuale Abweichung berechnen.

M(areal)-M(aoptimal)/M(aoptimal) = M(7,1) - M(7,8)/M(7,8) 8,1 %

Der Hersteller gewinnt Entscheidungsspielraum, weil er sich lediglich in hinreichender Nähe der optimalen Abmessung bewegen muss. So kann er neben der Materialminimierung weiter Gesichtspunkte ins Spiel bringen, wie z.B. die Handlichkeit der Tüte, die Ästhetik der Form oder die bequeme Lagerung im Kühlschrank. Offenbar haben derartige Gründe die Dimensionierung der Tetra-Pak-Milchtüte beeinflusst.

Hinzu kommt, dass Tetra Pak verschiedenste Vorgaben (der Fertigungstechniker, der Umweltingenieure, der Marketingabteilung und natürlich der Kunden zu einem gemeinsamen Nenner vereinen muss. Vermutlich geht Tetra Pak dabei nicht von einem vorgegebenen Faltnetz aus, aber die Mathematik wird eine große Rolle bei der Optimierung spielen.

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