II

Inhaltsverzeichnis

Abk  ürzungsverzeichnis  IV

Symbolverzeichnis   VI

Tabellenverzeichnis VI   

Abbildungsverzeichnis   VIII

1  Einleitung  1

1.1  Benoît Mandelbrot: Kritik, Modell und Fraktale  1

1.2  Danksagung  3

2  Das Leben von Benoît Mandelbrot  4

2.1  Kindheit, Jugend und Ausbildung zum Mathematiker  4

2.2  Die Zeit bei IBM  6

2.3  Nach dem Ausscheiden bei IBM  6

2.4  Akademische Auszeichnungen und bedeutendste Publikationen  7

3  Die Entwicklung der modernen Finanzmarkttheorie  8

3.1  Louis Bachelier und der Random Walk  8

3.2  Die Portfoliotheorie von Harry Markowitz  9

3.3  Weiterentwicklung der Thesen von Bachelier  11

3.4  Optionsbewertung nach Black-Scholes  11

3.5  Klassische GARCH(p, q)-Modelle  12

4  Problematische Annahmen der modernen Finanzmarkttheorie  14

4.1  Modelltheorie  14

4.2  Effizienzmarkthypothese (EMH)  15

4.3  Stylized Empirical Facts  16

5  Die Entstehung eines multifraktalen Marktmodells  22

5.1  Diskontinuität und Fat Tails  22

5.2  Langzeitgedächtnis von Kursreihen  26

5.3  Multifraktale Handelszeit  32

6  Multifraktale Modelle  36

6.1  Multifractal Model of Asset Returns (MMAR)  36

6.2  Parameterschätzung im MMAR  38

III

Inhaltsverzeichnis

6.3  Markov Switching Multifractal Model (MSM)  43

6.4  Fraktale Markthypothese (FMH)  46

6.5  Vergleich mit integrierten GARCH-Prozessen  47

7  Zusammenfassung  49

Anhang 51   

A  Fraktale Geometrie  51

A.1  Begriffsdefinitionen  51

A.2  Selbstähnlichkeit  52

A.3  Fraktale Strukturen am Beispiel der Julia- und Mandelbrotmenge  52

A.4  Stochastische Fraktale  54

A.5  Multifraktale Strukturen  54

A.6  Selbstähnliche Prozesse  58

B  Levy-stabile Verteilungen  59

C  Hurst-Parameter  60

C.1  R /S-Analyse nach Mandelbrot und Wallis  61

C.2  Die statistische Signifikanz der R /S-Analyse  62

Literaturverzeichnis   63

IV

Abkürzungsverzeichnis

ARCH . . . . Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model

BörsG . . . . Börsengesetz

CAPM . . . Capital Asset Pricing Model

EMH . . . . Hypothese der effizienten Märkte

fBM . . . . . fraktale Brownsche Bewegung fGN . . . . . fraktales Gaußsches Rauschen FIGARCH . Fractionally Integrated GARCH Model FMH . . . . fraktale Markthypothese

GARCH . . . Generalised AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model

h-ss . . . . . H-selbstähnlich

h-sssi . . . . H-selbstähnlich mit stationären Zuwächsen

LRD . . . . . Prozess mit Langzeitabhängigkeit

MMAR . . . Multifractal Model of Asset Returns MSM . . . . Markov Switching Mutlifractal Model

SRD . . . . . Prozess mit Kurzzeitabhängigkeit

TTFT . . . . Tobins Two-Fund-Theorem

WpHG . . . Wertpapierhandelsgesetz

V

Symbolverzeichnis

B H (t) . . . . Fraktale Brownsche Bewegung in der Kalenderzeit

D T . . . . . . Hamel-Dimension bzw. topologische Dimension F t . . . . . . Filtration zum Zeitpunkt t r f . . . . . . Am Markt erzielbare, risikolose Rendite

γ X (k) . . . . Autokovarianzfunktion der Zufallsvariablen X zur zeitlichen Verschiebung k i.i.d. . . . . . unabhängig, identisch verteilt ι . . . . . . . Einsenvektor κ(X) . . . . Kurtosis der Zufallsvariablen X M i . . . . . . Stochastischer Multiplikator

α . . . . . . . Tail-Index oder Irrtumswahrscheinlichkeit eines Hypothesentests ϕ X (x) . . . . Charakteristische Funktion der Zufallsvariablen X ∝ . . . . . . Proportionalitätszeichen b . . . . . . . stetige Bestandshaltekosten r i . . . . . . Rendite des Investitionsobjekts i

ρ X (k) . . . . Autokorrelationsfunktion der Zufallsvariablen X zur zeitlichen Verschiebung k R /S . . . . . . Rescaled Range Analysis sd . . . . . . Standardabweíchung Σ . . . . . . Varianz-Kovarianz-Matrix von Zufallsvektoren θ(t) . . . . . Multifraktale Handelszeit der Kalenderzeit t K . . . . . . Kritischer Bereich eines Hypothesentests τ θ (q) . . . . . Skalierungsfunktion der Momente bezogen auf die Handelszeit τ X (q) . . . . Skalierungsfunktion der Momente bezogen auf den Preisprozess W t . . . . . . Standard-Wiener-Prozess

(X t ) t∈T . . . Stochastischer Prozess in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit T ⊂ R

VI

Tabellenverzeichnis

4.3.1 Jarque-Bera-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3.2 Extreme Tagesrenditen im Zeitraum von 26.11.1990 bis 26.04.2011 . . . . . . . . 18 4.3.3 Ljuang-Box-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Schätzung der Pareto-Tails am Beispiel der DAX30-Renditen . . . . . . . . . . . 26 5.2.1 Teststatistik V n bei Variation von q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.5.1 Test auf Langzeitabhängigkeit des GARCH(1,1)-Prozesses . . . . . . . . . . . . . 47

A.1 Exemplarische Skalierungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 C.1 Quantile der Verteilungsfunktion der Teststatistik V n . . . . . . . . . . . . . . . . 62

VII

Abbildungsverzeichnis

1.0.1 DAX30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.0.1 Benoît Mandelbrot im Alter von 73 Jahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.5.1 Renditen des Standard-Wiener-Prozesses und eines GARCH(1,1)-Modells . . . . 13

4.3.1 DAX30 vom 26.11.1990 bis 26.04.2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3.2 Empirische Dichte und Normal-Quantil-Plot der DAX30-Renditen . . . . . . . . 17 4.3.3 Abklingverhalten der Autokorrelationsfunktion der gewöhnlichen und der absoluten Renditen des DAX30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3.4 Rolling-Varianz-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1.1 Log-Log-Plot der logarithmierten Preisänderungen gegen deren Wahrscheinlichkeit 22 5.1.2 Pareto-Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.3 Lévy-stabile Verteilungen in Abhängigkeit vom Tail-Index . . . . . . . . . . . . . 25 5.1.4 Gegenüberstellung Standard-Wiener-Prozess und Lévy-stabiler Prozess . . . . . . 25 5.2.1 Simulationen des fraktalen Gaußschen Rauschens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.2 Empirische Ergebnisse für den Hurst-Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2.3 R /S-Schätzung graphisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.3.1 Vergleich der logarithmierte Renditen der Brownschen Bewegung und des DAX30 33 5.3.2 Simulation eines multifraktalen Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.2.1 Entwicklung des Wechselkurses DM/EUR vom 1.06.1973 bis zum 31.12.1996 . . 39 6.2.2 Plot der Datenfrequenz ∆t gegen die Partitionsfunktion S(q, ∆t) . . . . . . . . . 40 6.2.3 Vergrößerter Ausschitt des linearen Approximationsbereiches . . . . . . . . . . . . 40 6.2.5 Skalierungsfunktion in Abhängigkeit von q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2.6 Simulation des Multifractal Model of Asset Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.2.7 Renditesimulation im Multifractal Model of Asset Returns . . . . . . . . . . . . . 42 6.3.1 Renditesimulation im Markov Switching Multifractal Model . . . . . . . . . . . . 44 6.3.2 Konstruktion eines MSM-Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.3.3 Simulation einer Trajektorie der logarithmierten Renditen und Kurse im MSM . 45 6.5.1 Renditen und Rolling-Varianz Plot des GARCH(1, 1)-Modells . . . . . . . . . . . 47

A.1 Julia-Menge für f c (z) = z 2 − 0 .2 + 0 .8i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.2 Mandelbrot-Menge für f c (z) = z 2 + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.3 Mini-Mandelbrot-Menge für f c (z) = z 2 + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.4 Mandelbrot-Menge mit Störterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.5 Cantor-Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Abbildungsverzeichnis

A.6 Konstruktion des Binominalmaßes durch multiplikative Kaskaden . . . . . . . . . 57 A.7 Der Aufbau einer Cantor-Menge mit µ k = ( ¹ /2) n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A.8 Ungleiche Aufteilung der Intervalle der Cantor-Menge . . . . . . . . . . . . . . . 57

Das Geschehen an den globalen Finanzmärkten ist äußerst komplex, undurchsichtig und gleichzeitig für viele Menschen faszinierend. Während es auf Außenstehende wie bloßer Voodoo-Zauber wirkt, stellt das Auf und Ab der Börsen für Ökonomen, Händler und Investoren ein vielschichtiges Forschungsgebiet dar.

Die simultanen Interaktionen der vielen Millionen Marktteilneh-

mer macht es unmöglich, das Marktgeschehen über deterministische Funktionen zu beschreiben und zu zukünftige Entwicklungen zu prognostizieren. Dennoch wurden in den letzten 110 Jahren seit Entwicklung der modernen Finanztheorie von vielen Ökonomen, Mathematikern, Natur- und Sozialwissenschaftlern enorme Anstrengungen unternommen, adäquate stochastische Marktmodelle zu entwickeln. Diese sollen das reale Verhalten der Kurse möglichst exakt nachbilden, um Risiken und Preise zu quantifizieren. Eine Vielzahl der existierenden Modelle geht von Annahmen aus, die

sich bei empirischen Untersuchungen realer Kursreihen als fehlerhaft erweisen. Dieses Problem verstärkt sich, da spätere Finanzmarktmodelle auf früheren Ansätzen aufbauen und diese weiterentwickeln. Diese Marktmodelle versagen regelmäßig in extremem Marktsituationen, da sie oftmals nicht in der Lage sind, diese Zustände korrekt darzustellen.

Ziel dieser Arbeit ist es, die konventionellen Finanzmarktmodelle kritisch zu beleuchten und anhand von Benoît Mandelbrots fraktaler Geometrie alternative Modelle aufzuzeigen. Hierzu wird sowohl die umfangreiche Grundlagenforschung Mandelbrots aufgezeigt, als auch hierauf aufbauende Marktmodelle vorgestellt.

1.1 Benoît Mandelbrot: Kritik, Modell und Fraktale

Im Jahre 1961 beschäftigte sich der Mathematiker und Naturwissenschaftler Benoît Mandelbrot erstmals mit ökonomischen Zeitreihen. Er versuchte über Selbstähnlichkeit und Skalierungsgesetze einen geometrisch geprägten Weg einen alternativen Zugang zum Finanzmarkt herzustellen. Er entdeckte zu Beginn seiner Arbeit viele Eigenschaften finanzwirtschaftlicher Zeitreihen, die heute zu den Stylized Empirical Facts gezählt werden. Ebenso musste er feststellen, dass eben

1 Einleitung

diese Eigenschaften von klassischen Ansätzen nur unzureichend berücksichtigt werden und häuf ig als Irregularitäten abgetan werden.

Letztendlich kam er zu dem Schluss, dass dem Finanzmarkt, wie der Natur selbst, fraktale Strukturen inhärent innewohnen und charakteristische Eigenschaften durch eine Änderung der Zeitskala unverändert bleiben (vgl. Nemtsev, 2006, S. 3). Abbildung 1.0.1 zeigt drei Kursreihen, deren zeitliche Skalierung ohne Angabe des Maßstabes nicht festzustellen ist ¹ . Er entwickelte schließlich auf Basis seiner Beobachtungen ein multifraktales Marktmodell zur Beschreibung von Renditeprozessen. Multifraktale Strukturen erlauben, viele der von ihm selbst festgestellten Irregularitäten zu charakterisieren und entsprechend zu messen.

Die Arbeit beginnt mit einer kurzen biographischen Darstellung von Benoît Mandelbrots Leben. Sie wurde nach Lebensabschnitten gegliedert und verfolgt das Ziel, dem Leser den Werdegang von einem der bedeutendsten Mathematiker der letzten 50 Jahre näher zu bringen.

In Kapitel 3 werden einige der wichtigsten Meilensteine in der Entwicklung der klassischen F inanzmarkttheorie vorgestellt. Das Kapitel wurde chronologisch aufgebaut, so dass der Leser einen Überblick über Entstehung und Entwicklung der modernen Finanztheorie erhält.

Das anschließende Kapitel führt die Annahmen der klassischen Modelle weiter aus und vergleicht diese Annahmen mit einer eigenen Auswahl an empirisch nachweisbaren Stylized Facts. Im Zentrum dieser Analyse steht die Normalverteilungsannahme, auf der die Mehrzahl der klassischen Ansätze aufbaut. Diese werden anhand eines realen Datensatzes ,des DAX30, überprüft. Ferner wird die Hypothese der effizienten Märkte grob vorgestellt und deren Annahmen kritisch beleuchtet.

Die wesentlichen Kritikpunkte von Benoît Mandelbrot an der klassischen Finanztheorie werden im Kapitel 5 dargestellt. Dazu zählen insbesondere die schweren Ränder der Renditeverteilung, das Langzeitgedächtnis der Renditen und die Bildung von Volatilitätsclustern. Ferner werden die Mandelbrotschen Alternativen detailliert beschrieben und deren Plausibilität anhand realer Kursdaten gezeigt. Zusätzlich wird dem Leser die fraktale Markthypothese als Alternative zur Effizienzmarkthypothese dargelegt.

Mandelbrots Forschungsaktivitäten führten zum ersten multifraktalen Marktmodell, dem Multifractal Model of Asset Returns, welches in Kapitel 6 beschrieben wird. Ferner wird dessen konkrete Anwendung anhand einer empirischen Studie zum Wechselkurs D-Mark/USD aufgezeigt. Zusätzlich beinhaltet dieses Kapitel die Darstellung eines weiteren multifraktalen Modells. Es wurde von Benoît Mandelbrots ehemaligen Doktoranden Adlai Fisher und Laurent Calvet konstruiert und trägt den Namen Markov Switching Multifractal Model. Es stellt eine Weiterentwicklung von Mandelbrots multifraktalen Grundmodell dar. Abschließend werden die Vorzüge

¹ Die Zeitreihen beziehen sich von oben nach unten auf monatliche, wöchentliche und tägliche Indexstände, wobei

jede 60 Beobachtungen enthält.

1 Einleitung

multifraktaler Modelle zu GARCH-Modellen aufgezeigt.

Zum Abschluss der Arbeit werden die Ergebnisse in Kürze resümiert und ein Ausblick auf zukünftige Entwicklungen gegeben.

Um die Lesbarkeit im Hauptteil der Arbeit zu verbessern, wurden längere mathematische und statistische Ausführungen in den Anhang verlagert. Hier finden sich unter anderem grundlegende Schilderungen über die fraktale Geometrie, lévy-stabile Verteilungen, den Hurst-Exponenten und multifrakale Wahrscheinlichkeitsmaße. Ganz im Sinne Mandelbrots wurde versucht, möglichst viele Sachverhalte graphisch darzustellen. Auf mathematische Beweise wurde im Rahmen dieser Arbeit gänzlich verzichtet.

1.2 Danksagung

Hiermit bedanke ich mich herzlich bei Prof. Dr. Ralph Friedmann und Dipl.-Vw. Sven Wagner für die Vergabe dieses doch sehr spannenden und faszinierenden Themas. Es stellt eine Bereichung für meinen weiteren Werdegang dar und gewährte mir neue Einblicke und Erkenntnisse in mathematische und statistische Probleme.

Ebenso möchte ich mich bei meinen Korrekturlesern und Freunden Alexander Michel und Nathalie Neu bedanken. Durch ihre Unterstützung konnten einige sprachliche und logische Unstimmigkeiten vermieden werden. Besonderer Dank gebührt Dr. Klaus Schindler für seine Vorlesung Mathematik D: Derivative Finanzinstrumente im Wintersemester 2010/2011, ohne die diese Ar- beit sicherlich nicht in dieser Form zustande gekommen wäre.

Benoît B. Mandelbrot ¹ gehört sicherlich zu den bedeutendsten Ma-

thematikern des 20. Jahrhunderts. Sein Lebenswerk, die fraktale Geometrie, hat inzwischen zahlreiche und umfassende Anwendungsfelder in den Natur- und Gesellschaftswissenschaften gefunden. Aus diesem Grund und zu Ehren Benoît Mandelbrots stellt dieses Kapital sein Leben biographisch dar ² .

2.1 Kindheit, Jugend

und Ausbildung zum Mathematiker

Benoît Mandelbrot wurde am 20. November 1924 als Sohn jüdischlitauischer Eltern in Warschau geboren. Seine Mutter war Ärztin, sein Vater Kleinhändler in der Textilbranche. Da seine Mutter Angst vor Seuchen hatte, besuchte Benoît Mandelbrot in seiner Kindheit die Schule in Polen nur unregelmäßig und wurde von zu Hause von seinem Onkel Szolem Mandelbrojt, der am Collège de France Mathematik lehrte, unterrichtet. Eigenen Angaben zufolge verdankt Mandelbrot seinen späteren Erfolg zu einem großen Teil dieser unkonventionellen Lernmethode. Sie erlaubte ihm, in Bahnen zu denken, die nur schwer nachvollziehbar von je-mandem mit konventioneller Erziehung sind. Es war ihm so auch möglich, sich auf einem sehr geometrischen Weg der Mathematik zu nähern. Diese geometrische Intuition gestattete ihm einzigartige Einblicke in mathematische Probleme.

1936 emigrierte die Familie aufgrund sich verschlechternder Lebensumstände nach Paris, wo Mandelbrots Onkel Szolem Mandelbrojt als Professor für Mathematik tätig war. Mandelbrot besuchte in der französischen Hauptstadt das Lycée Rolin. Während dieser Zeit verstärkte sich die Beziehung zu seinem Onkel Szolem Mandelbrojt, von dem Benoît Mandelbrot später behauptete, dass er von niemand anderem mehr gelernt hat und beeinflusst worden war.

Bei Ausbruch des 2. Weltkrieges im Jahre 1939 zog die Familie in das zentralfranzösische Tulle.

¹ Das mittlere B ist selbstgewählt und steht nicht für einen zweiten Vornamen und wird im Folgenden weggelassen.

² Die Angaben in diesem Kapitel basieren zum großen Teil auf Benoît Mandelbrots eigenen Angaben und ent-

stammen der Quelle: math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/mavericksApprenticeship.pdf.

2 Das Leben von Benoît Mandelbrot

Die unsicheren und chaotischen Zustände während der Kriegs- und Besatzungszeit verhinderten die Fortführung einer geregelten Schulausbildung. Von 1939 bis 1943 besuchte Mandelbrot das Lycée Edmond Perrier in Tulle. Kriegsbedingt zog er 1944 nach Lyon und besuchte das Lycée du Parc. Als die Alliierten am 25. August 1944 Paris befreiten, beschloss Mandelbrot seine Studien in der französischen Hauptstadt fortzusetzen.

Dort schrieb er sich zunächst an der École Normale Supérieur ein. Er wurde angenommen, brach aber nach eigenen Angaben das Studium nach nur 2 Tagen ab, um stattdessen an der École Polytechnique seine Studien fortzusetzen. Diese Entscheidung wurde von vielen seiner Freude damals missbilligt, da Mandelbrots Wahluniversität einen schlechteren Ruf hatte als die École Normale. An der École Polytechnique besuchte er Vorlesungen in Differenzialgeometrie bei Gaston Julia ³ und in Analysis bei Paul Lévy ⁴ . Beide Professoren prägten neben seinem Onkel Benoît Mandelbrots späteren Werdegang maßgeblich, da er viele ihrer Theorien in späteren Werken aufgriff und ausbaute.

Nach dem Abschluss seiner Studien an der École Polytechnique im Jahre 1947 erhielt er ein Auslandsstipendium am California Institute of Technology in den Vereinigten Staaten, welches er 1949 mit einem Master in Aeronautik abschließen konnte. Mit diesem Abschluss kehrte er an die Universität von Paris zurück, um dort zu promovieren. Während seiner Suche nach einem geeignetem Thema für seine Dissertation kam Mandelbrot mit der 1949 erschienenen Arbeit Human Behavior and the Principle of Least Effort von George Zipf in Berührung, die die statistische Wortverteilung in unserer Sprache untersucht. Zipfs Arbeit hatte ebenfalls erheblichen Einfluss auf Mandelbrots spätere Werke, da es ihm gelungen ist, die Erkenntnisse von George Zipf auf andere Wissenschaften zu übertragen.

Seine Doktorarbeit schrieb er in angewandter Mathematik und sie trägt den Titel Mathematical Theories of Games of Communication. Sie vereint Ideen der Thermodynamik, der Kybernetik und der Spieltheorie ⁵ . Mandelbrot sagte später, dass sie schlecht geschrieben und gegliedert war, sie aber erste wichtige Ansätze zu den später von ihm entwickelten Skalierungseigenschaften und der Skaleninvarianz beinhaltete.

In den beiden Folgejahren 1953-1954 erhielt er von John von Neumann ein Stipendium für das Institute for Advanced Study in Princeton. Dort wurde er aufmerksam auf Ansätze zu verallgemeinerten Dimensionsbegriffen, die viele seiner späteren Arbeiten prägen. 1954 kehrte er nach Paris zurück und wurde Mitarbeiter am Institut Henri Poincaré der Universität von Paris. 1955 heiratete er die Biologin Ailette Kagan und lehrte von 1957-1958 an der Universität von Genua. Er wurde Juniorprofessor für angewandte Mathematik an der Universität in Lille und unterrichtete an seinem früheren Studienort der École Polytechnique. Zu seinen Unguns-

³ GastonJulia beschrieb in der Arbeit Mémoire sur l´Iteration des fonctions rationelles detailliert die nach ihm

benannte Julia-Menge, auf der die später von Mandelbrot entwickelten Mandelbrotmenge basiert.

⁴ Paul Lévy leistete große Beiträge im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

⁵ In dieser Arbeit flossen unter anderem die Ansätze von Norbert Wiener und John von Neumann zusammen.

2 Das Leben von Benoît Mandelbrot

ten divergierten jedoch seine eigenen Interessen und die französische Mathematik zunehmend. Mandelbrots Forschungen waren insbesondere auf dynamische Systeme gerichtet, welche zur damaligen Zeit in Frankreich wenig Anklang fanden. Aus diesem Grund zog er 1958 endgültig in die USA. Dort wurde er am IBM-Forschungsinstitut von Yorktown Heights im Alter von 34 Jahren im US-Bundesstaat New York angenommen.

2.2 Die Zeit bei IBM

Bei IBM fand Mandelbrot ein Umfeld vor, welches ihm ermöglichte, einer großen Vielfalt von unterschiedlichen Ideen nachzugehen. Er selbst sprach davon, dass ihm IBM die Möglichkeit gab, seine Forschungsrichtung einzuschlagen, was ihm keine universitäre Stelle jemals ermöglicht hätte.

Zu Beginn seiner Arbeit beschäftigte sich Mandelbrot mit mathematischer Linguistik sowie spieltheoretischen und wirtschaftlichen Zusammenhängen. 1961 untersuchte er das Verhalten von Baumwollpreisen und deren Renditeverteilung. Diese Arbeit, deren Ergebnisse er im Artikel The variation of certain speculative prices im Jahre 1963 veröffentlichte, stellt noch heute klassische ökonomische Modelle in Frage und legte den Grundstein für seine späteren Arbeiten im Bereich der Ökonomie. Die grundlegenden Ergebnisse werden im Verlauf dieser Arbeit, insbesondere in Kapitel 5, vorgestellt. 1974 wurde Benoît Mandelbrot zum IBM Fellow ernannt, was ihm weitreichenden Spielraum für seine Forschungsarbeit gewährte.

Während der langjährigen Forschungsarbeit bei IBM beschäftigte sich Mandelbrot intensiv mit komplexen geometrischen Gebilden, die er Fraktale nannte und auf der Grundlage der Vorarbeiten von Gaston Julia nun computergestützt darstellen konnte. Er weckte das Interesse von Öffentlichkeit und Wissenschaft an fraktalen Mustern, die er überall in der Natur nachweisen konnte. 1980 entdeckte er die nach ihm benannte fraktale Mandelbrot-Menge, welche als das formenreichste geometrische Gebilde gilt und für die Entwicklung der mathematischen Chaostheorie eine zentrale Bedeutung hatte ⁶ . Die Theorie der fraktalen Geometrie stellte die Mathematik auf eine ähnlich neue Grundlage, wie dies einst Euklid durch seine Geometrie tat. Mittlerweile finden fraktale Strukturen und Modelle in vielen Wissenschaften wie beispielsweise in der Medizin, der Physik oder der Bildverarbeitung Anwendung. Im Jahre 1987 verließ Mandelbrot IBM nach 35 Jahren, da IBM aus Kostengründen seine Forschungsabteilung schließen wollte.

2.3 Nach dem Ausscheiden bei IBM

Nach dem Ausscheiden bei IBM trat Benoît Mandelbrot an der Yale University im Jahre 1999 im Alter von 75 Jahren seine erste ordentliche Professur an. Als er 2005 emeritierte, war er Sterling Professor für Mathematik. Seine letzte Anstellung war 2005 am Pacific Northwest National Laboratory. Am 14. Oktober 2010 verstarb Benoît Mandelbrot in einem Krankenhaus in

⁶ Die Mandelbrotmenge wird in Kapitel A.3 auf Seite 52 im Anhang dargestellt.

2 Das Leben von Benoît Mandelbrot

Cambridge, Massachusetts, im Alter von 85 Jahren an Bauchspeicheldrüsenkrebs. Der Mathematiker Heinz-Otto Peitgen würdigte Mandelbrot anlässlich seines Todes als eine der wichtigsten Persönlichkeiten der letzten 50 Jahre für die Mathematik.

2.4 Akademische Auszeichnungen und bedeutendste

Publikationen

Mandelbrot wurde durch zahlreiche akademische Auszeichnungen für seine Forschung geehrt. Im Jahr 1986 erhielt er die Franklin Medaille, 1987 den Alexander von Humboldt Preis. 1989 wurde er in die französische Ehrenlegion aufgenommen. 1991 verlieh man ihm die Nevada Medal und 1993 wurde ihm der Wolf-Preis für Physik zugesprochen. Im Juni 1999 wurde Mandelbrot mit der Ehrendoktorwürde der University of St. Andrews ausgezeichnet. 2003 erhielt er den Japan Prize for Science and Technology, im Mai 2010 folgte die Ehrendoktorwürde der Johns Hopkins University.

Im Laufe seines Lebens veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Vielzahl an akademischen Schriften, Büchern und Essays. Seine grundlegenden Arbeiten veröffentlichte er in den Jahren 1975 mit Les objets fractals: Forme, hasard et dimension und 1982 mit The fractal Geometry of Nature. Großes Aufsehen erregte das zusammen mit Journalisten Richard L. Hudson populärwissenschaftliche Werk Fraktale und Finanzen: Märkte zwischen Risiko, Rendite und Ruin, in dem Mandelbrot seine Sichtweise bezüglich des Finanzmarktes beschreibt.