Jan Tomaschek

1. Prolog 2. Biographie Pierre de Fermats

3. Fermats letzter Satz - Entstehungsgeschichte des größten mathematischen Problems aller Zeiten 4. Historische Versuche des Beweis 4.1. Leonard Eulers Beweis für n=3 4.2. Sophie Germain revolutioniert die Beweisidee 4.3. Ernst Kummer

5. Der Paul Wolfskehl Preis - Die breite Masse findet Interesse an Fermat 6. Andrew Wiles - Biographie und Kindheitstraum 7. Die Taniyama-Shimura-Theorie

8. Die Verbindung zwischen der Taniyama-Shimura-Theorie und Fermats letztem Satz - Eine völlig neue Lösungsidee für den letzten Satz Fermats’

9. Andrew Wiles versucht die Taniyama-Shimura-Theorie zu beweisen 10. Ein kleines Problem - Wiles Beweis droht zu scheitern 11. Epilog 12. Anhang und Materialien 13. Quellenangaben

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1. Prolog

Fermats letzter Satz ist ein Problem, das so einfach formuliert werden kann, daß bereits ein Schulkind in der Lage ist, es zu verstehen. Aber auf eine Lösung mußte die Welt der Mathematik über 350 Jahre warten. Erst mit Hilfe modernster Mathematik ist es Andrew Wiles 1997 gelungen, eines der größten Rätsel der Mathematik zu lösen.

2. Biographie Pierre de Fermats

Pierre Fermat wurde am 20. August 1601 in Beaumont de Lomagne, einer Kleinstadt in der Gascogne, in der Nähe von Toulouse geboren. Sein Vater war ein wohlhabender Lederhändler, der ihm eine ausgezeichnete Schulbildung und ein Studium an der Universität von Toulouse ermöglichte. Auf Drängen der Familie schlug Fermat eine juristische Laufbahn ein und wurde Richter am obersten Gerichtshof zu Toulouse, wo er als Hofrat an der Petitionskammer tätig war.

Dort hatte er zu entscheiden, ob ein bürgerliches Gesuch an den König von großer Wichtigkeit war und außerdem hatte er die Befolgung der königlichen Erlasse zu überwachen.

Fermat machte im Staatsdienst schnell Karriere. Dies wurde allerdings dadurch begünstigt, daß die Pest, die in Europa grassierte, die Nachfrage nach jungen, aufstrebenden Männern stets hochhielt. Er wurde zu einem der angesehensten Männer in der Toulouser Gesellschaft. Bald darauf wurde er sogar in den Adel erhoben und durfte sich Pierre de Fermat nennen. Da es damals nicht gern gesehen war, daß ein Staatsmann in zu großen Maße am gesellschaftlichen Leben teilnahm - denn ein Bekannter oder ein Freund könnten vor Gericht erscheinen - widmete er seine freie Zeit ganz und gar der Mathematik.

Die Mathematik war im frühen 17. Jahrhundert keine besonders angesehene Tätigkeit. Mathematiker mußten ihre Studien oft selbst bezahlen und deshalb waren auch die meisten von ihnen Amateure. Außerdem pflegten sie -

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besonders Fermat - meist alleine und in völliger Abgeschiedenheit zu arbeiten. Fermat legte keinen Wert auf Prestige und Annerkennung, er war zufrieden, wenn er in aller Ruhe neue Sätze formulieren und erarbeiten konnte. So kam es auch, daß zu seinen Lebzeiten nie ein Buch von ihm veröffentlicht wurde. Allerdings hatte Fermat eine besonders ungern gesehene Eigenart. Er schrieb anderen Mathematiker Briefe, in denen er seine neusten mathematischen Sätze verkündete, aber den Beweis lieferte er nicht mit.

Im Gegenteil, er forderte seien Kollegen dazu auf, diesen zu suchen, was ihm ein besonderes Vergnügen bereitete. So stellte er zum Beispiel fest, daß die Zahl 26 die einzige Zahl ist, die zwischen einer Quadrat- und einer Kubikzahl liegt, und ihm gelang auch der entsprechende Beweis. Fermat verkündete seine Entdeckung und forderte seine Kollegen zum Beweis auf - die beschriebene Entdeckung klingt zwar sehr einfach, der Beweis ist dafür aber um so komplizierter. Nach einigen Wochen mußten seine Mathematikerkollegen eingestehen, daß sie nicht in der Lage waren, den Beweis zu führen. Zusammen mit Blaise Pascal begründete Fermat die Wahrscheinlichkeits-theorie und führte gemeinsam mit ihm die ersten Beweise. Auch die Differenzialrechnung, vor allem Berechnungsmethoden für Extrema, ist zu einem großen Teil auf Fermat zurückzuführen.

Fermats Hauptinteresse aber galt der Zahlentheorie. Die Zahlentheorie ist ein Bereich der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften und Beziehungen von Zahlen beschäftigt und der - abgesehen von der Kryptologie und moderner Verfahren in deren Umfeld, wie etwa dir Generierung von Pseudozufallsfolgen oder diverse Verschlüsselungsverfahren - kaum von praktischen Nutzen ist. Als Anregung diente Fermat eine in latein übersetzte Ausgabe der Arithmetica von Diophantos. In diesem Buch war das gesamte Wissen, das große Mathematiker wie Euklid und Pythagoras erarbeitet hatten, gesammelt. Seit der Zerstörung der Alexandrinischen Bibliothek -der moslemische Kalif Omar ließ im Jahr 642 den Großteil der gesammelten Bücher, darunter auch die meisten existierenden Ausgaben der Arithmetica, verbrennen - war die Zahlentheorie um fast eintausend Jahre zurückgeworfen worden. Denn erst als die Türken 1453 die Stadt Konstantinopel plünderten, gelangten einige

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Exemplare der Arithmetica - die auf der Flucht nach Westen von byzantinischen Gelehrten mitgenommen wurden - wieder nach Europa. Fermat griff die in der Arithmetica beschrieben Ideen auf und entwickelte diese weiter. Diophantos schilderte über hundert Probleme und lieferte deren Lösungen direkt mit. Immer wenn Fermat sich mit einem Problem beschäftigte, formulierte er eigene Lösungen und stellte neue, kompliziertere Probleme auf. Die Lösungen hielt er nur knapp am Rand des Buches fest, eine Eigenart, die Generationen von Mathematikern zur Verzweiflung bringen sollte. Am 12. Januar 1665 verstarb Pierre de Fermat in Castres. Das Original der Arithmetica mit Fermats Anmerkungen ging verloren, aber Fermats ältester Sohn, Clément-Samuel, trug alle im Nachlaß seines Vaters vorhandenen Notizen und Fragmente zusammen und verfaßte eine neue Ausgabe der Arithmetica, in der er die Randnotizen seines Vaters veröffentlichte.

Eine dieser Anmerkungen war die größte Hinterlassenschaft Fermats.

3. Fermats letzter Satz - Die Entstehungsgeschichte des größten mathematischen Problems aller Zeiten

Eines Tages, als Fermat einige Erörterungen Diophantos’ über Pythagoreische Zahlentripel studierte - Pythagoreische Zahlentripel sind ganzzahlige Lösungen für den Satz von Pythagoras (z.B. 5 ² +12 ² = 13 ² ; denn 25 +144 = 169) - dachte er über mögliche Abwandelungen des Satzes nach. Er änderte die Quadrate im Satz von Pythagoras in Kuben und suchte nach Lösungen für die neue Gleichung x ³ + y ³ = z ³ .

Doch Fermat mußte feststellen, das eine wahre Lösung für diese Gleichung einfach nicht zu finden war. Er veränderte die Gleichung abermals in höhere Potenzen und kam jedesmal zu dem Ergebnis, daß die Lösung unmöglich sei. Fermat behauptete darauf, daß die Gleichung