Inhaltsverzeichnis

1  Geschichtlicher Hintergrund  

2  Grundlagen  

2.1  Definition des Goldenen Schnittes  

2.2  Konstruktion des goldenen Schnittes  

3  Das reguläre Fünfeck  

3.1  Das Pentagramm  

3.2  Die Diagonalen im regulären Fünfeck  

3.3  Inkommensurabilität von Streckenlängen am Beispiel des Fünfecks  

3.4  Konstruktionen des regulären Fünfecks  

4  Fibonacci - Zahlen  

5  Beispiele aus Kunst und Umwelt  

6  Umsetzung in Schule und Unterricht  

6.1  Unterrichtsumsetzung nach Hischer  

6.2  Ideen zur Umsetzung des goldenen Schnittes im Unterricht  

6.3  Notwendige Vorkenntnisse  

7  Literatur  

Der Goldene Schnitt

Johannes Kepler sagte einmal: „Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere ist der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten dürfen wir ein kostbares Juwel nennen.“ 1

1. Geschichtlicher Hintergrund

Eudoxos von Knidos ( um 408 - 355 v. Chr.) hat Platons erste Erkenntnisse über den „Schnitt“ weitergeführt und gilt als eigentlicher Schöpfer der wissenschaftlichen Proportionslehre. Es stand die Frage nach der rationalen Auflösung der Gleichung x²+y²= z². Für die Pythagoräer wurde in diesem Zusammenhang die Teilung einer Strecke a nach der Proportion a:x=x:(a-x) von besonderer Bedeutung. Sie stießen dabei auf das regelmäßige Fünfeck. Der Konstruktion diesen Fünfecks maßen die Pythagoräer große Bedeutsamkeit zu. Als ihr Erkennungszeichen wählten sie das Pentagramm, welches sich aus den Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks ergibt. Dem Pentagramm (auch Pentalpha, Drudenfuß oder Albfuß (Albkreuz) genannt) wurde eine mythische Bedeutung zugeschrieben. Die Pythagoräer hatten entdeckt, dass Strecken mit Lineal und Zirkel konstruierbar, aber nicht messbar sind (messbar = kommensurabel). Demnach sind irrationale Streckenlängen inkommensurabel. Zu vermuten ist, dass die Pythagoräer dieses Erkennungszeichen gewählt haben, da hier eben irrationale Streckenlängen auftauchen.

In der Malerei oder Baukunst wird der Goldene Schnitt immer wieder als ein ästhetisch besonders befriedigendes Maßverhältnis angesehen. Bewusst wurde es aber in der Komposition einiger Musikwerke eingesetzt, wie bspw. bei Bela Bartok (1881 - 1945). In der Botanik gibt es immer wieder Gesetzmäßigkeiten, die Bezüge zum Teilverhältnis des Goldenen Schnittes nahe legen.

¹ Barth/ Krumbacher/ Matschiner/ Ossiander: Anschauliche Geometrie 3. München: Ehrenwirth Verlag GmbH 1988, S. 114.

2. Grundlagen

2.1 Definition des goldenen Schnittes __ __ __

Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S von AB teilt AB im goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke zur kleineren so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. __ __

Erklärung: Die größere Strecke AS wird mit Major (M) bezeichnet und die kleinere Strecke SB mit Minor (m). Liegt der Punkt S näher an B (er kann genauso gut näher an A liegen, je nachdem wo sich die größere Strecke befindet) so teilt der Punkt S die Strecke AB im goldenen Schnitt, wenn gilt: |AS|/|SB| = |AB|/|AS|. __

Die Strecke AB habe die Länge a, für die gilt: a = M + m. Somit gilt nach obiger Gleichung auch: a/M = M/m, also am = M². Setzt man für a bekannte Gleichung a = M + m ein, erhält man: (M + m)m = M². Nach Auflösen der Klammer, anschließendem Dividieren der Gleichung durch m² und Umstellen der Gleichung erhält man eine quadratische Gleichung: (M/m)² - M/m - 1 = 0. Löst man diese Gleichung nach der Unbekannten M/m mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen auf, erhält man die Lösung: M/m = (1±v5)/2. Da M und m positiv sind, muss auch M/m positiv sein, womit die einzige positive Lösung dieser Gleichung nur (1+v5)/2 ˜ 1,618 ist. Diese Konstante wurde mit dem griechischem Anfangsbuchstaben F eines bekannten Bildhauers (Phidias) benannt, da in seinen Werken oft der goldene Schnitt vorkam. _

Ob also ein Punkt S eine Strecke AB im goldenen Schnitt teilt, lässt sich überprüfen, indem die Länge der größeren Strecke durch die Länge der kleineren rund 1,618 ist.

2.2 Konstruktionen des goldenen Schnittes

1. Heute übliche Konstruktion des goldenen Schnittes: Es sei AB eine Strecke der Länge a.

Errichtet man die Senkrechte BC in B mit |BC| = ½ a und zieht mit dem Zirkel einen Kreis um C mit dem Radius |CB|, so kreuzt dieser die Strecke AC im Punkt D.

Zieht man nun einen Kreis um A mit dem Radius |AD|, so schneidet dieser die Strecke AB im Punkt S. S teilt somit Die Strecke AB im goldenen Schnitt. Behauptung: S teilt die Strecke AB im goldenen Schnitt.

Beweis: Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem

rechtwinkligen Dreieck: a² + b² = c² (a, b = Katheten und c Hypothenuse).

So gilt für dieses Dreieck: a² + ½ a² = |AC|². Daraus folgt schließlich: |AC|² = 5/4 a² ? |AC| = v5/2 a. Weiterhin gilt: |CD| = |CB| = a/2.

So folgt für |AS|: |AS| = |AD| = |AC| - |CD| = v5/2 a - ½ a = (v5-1)/2 a = a/F. Also ist |AB|/|AS| = a/(a/F) = F. Somit teilt S die Strecke AB im goldenen Schnitt. q.e.d.

(Im Vortrag wäre eine eindeutige Festlegung der Strecken durch Variablen günstiger gewesen, da alle Teilnehmer dann die gleichen Bezeichnungen für den Beweis besser nachvollziehen hätten können.)

2. Konstruktion des goldenen Schnittes nach Euklid:

Behauptung: S teilt die Strecke AB im goldenen Schnitt. Beweis: Auch hier gilt wieder nach dem Satz des Pythagoras: |DC| = |AC| = v5/2 a. Für |BS| gilt: |BS| = |BD| = |DC| - |BC| = v5/2 a - ½ a = a/F und daraus folgt wiederum: |AB|/|AS| = F. S teilt also die Strecke AB im goldenen Schnitt. q.e.d.

Es gibt einige weitere Konstruktionen des goldenen Schnittes, die an dieser Stelle nicht weiter erläutert werden. Hierzu verweise ich auf das Buch von A. Beutelspacher und B. Petri: Der goldene Schnitt. Mannheim/ Wien/ Zürich: BI- Wissen- schaftsverlag 1988, 20ff.