Without education, you're not going anywhere in this world.

Malcolm X (1925 - 1965)

So weit du gehst, so hoch du steigst - du musst mit einem einfachen Schritt beginnen.

Japanisches Sprichwort

Vorwort

Was ist Mathematik?

Viele verbinden mit dem Wort Mathematik vor allem das Rechnen. Dies liegt wohl darin begründet,

dass in der Schule bis zur 10. Klasse genau das gefordert ist. Doch was heißt Mathematik eigentlich?

Im wissenschaftlichen Bereich existiert keine allgemeine Definition des Wortes und bei der

Bedeutungsklärung könnte der altgriechische Wortstamm helfen:

Mathematik ist also die Kunst des Lernens.

Wahrheit, als weithin angenommen.

Warum dieses Buch?

kann heute dank CAS-Taschenrechnern nur noch müde darüber gelächelt werden.

Die Aufgabensteller sind damit endlich zum Umdenken gezwungen. Bereits jetzt wird deutlich, dass

immer mehr das Verständnis mathematischer Zusammenhänge in den Vordergrund rückt als die

einseitige Rechenarbeit.

Das Ziel dieses Buches ist, ein umfassendes Verständnis über die Raumgeometrie zu bekommen.

Dabei werden zwei didaktische Ansätze verfolgt:

Der visuelle Ansatz: Was ich sehe, kann ich mathematisch beschreiben.

Das Baukastenprinzip:

Das charakteristische am Fach Mathe ist, dass etwas umso leichter wird, je mehr darüber

nachgedacht wird. Es lohnt sich also, keine Mühen zu scheuen um den Stoff zu durchdringen. Gerade

r meistern lassen.

Ist das nicht anstrengend?

Im Gegenteil, Mathe mit dem Willen, die Dinge zu verstehen, macht tatsächlich jede Menge Spaß.

Unser Gehirn verfügt über ein Belohnungssystem, welches im Moment des Verstehens Dopamin

ausschüttet. Dieser Botenstoff löst gute Gefühle aus und versetzt uns augenblicklich in einem

Aufgaben ist eng ans Verstehen gekoppelt und damit bestens geeignet, das Gehirn mit

glückbri

angepasst sein. Eine Grundregel ist hier, sich selbst zu fordern, aber nicht zu überlasten.

oft wichtiger als

Isaac Newton lag unter einem Obstbaum, als ihm ein Apfel auf den Kopf fiel. Entrüstet stellte er sich

die Frage, was die Frucht eigentlich zum Fallen bewegt hatte und fand als Antwort die Schwerkraft.

Was ist der Nullplan?

Die Übersetzung von Sachverhalten in die Sprache der Mathematik erfolgt durch Gleichungen. Dabei

wichtig, denn alle Rechenkünste sind vergeblich, wenn die mathematische

Fragestellung nicht eindeutig formuliert wurde. In der Analysis werden die Gleichungen oft höheren

Grades sein. Diese sind nur lösbar, wenn auf einer Seite eine Null vorzufinden ist. Auf dieser

Tatsache fußt die Grundidee des Buches:

Es wird immer etwas gleich Null.

Jede Aufgabe kann gelöst werden, indem etwas gefunden wird, dass gleich Null ist. Bei der Suche

danach ist es hilfreich, den Blick eine Dimension tiefer als auf die Aufgabendimension zu richten.

Der Bereich der Raumgeometrie befindet sich in der 3. Dimension und es wird deshalb ein

Nullpendant in der 2. Dimension gesucht - genauer eine Nullfläche. Diese ist entweder ein Rechteck

0. Dimension ebenfalls genutzt werden, so dass

die Nullpunkte auch hier wieder eine Rolle spielen (z.B. haben Spurpunkte eine Nullkoordinate).

D einer Aufgabe in der Raumgeometrie geschieht also mit Nullpunkten oder Nullflächen.

Zum Arbeiten mit diesem Buch

gibt es zu jeder Thematik Erklärungsbeispiele.

estalten. Es kann also durchaus richtig sein, sich weniger in ein Thema zu vertiefen, wenn

es sowieso nicht gebraucht wird (z.B. werden nicht immer sämtlichen Spiegelungen verlangt).

Umgekehrt kann es von Vorteil sein, sich mit Dingen vertraut zu machen, die über die normale

Stoffvermittlung hinausgehen (z.B. ist für ein umfassendes Verständnis der Ebenengleichungen die

selten aufgezeigte geometrische Bedeutung des Skalarprodukts als orientierte Fläche notwendig).

Viele Erklärungsbeispiele sind bewusst ohne

gerne zum

Taschenrechner gegriffen werden - er ist ein nützliches Instrument, dessen Umgang oft geübt werden

Danksagung

Dieses Buch wäre ohne die Offenheit meiner Schüler für neue Methoden nie entstanden. Vor allem

ihre einfachen Fragen haben zu den wesentlichen Erkenntnissen geführt und ich habe dadurch jede

Stunde mehr von ihnen gelernt als sie von mir - ihrem Vertrauen gebührt mein Dank!

geschaffene Möglichkeit langjähriger Mitarbeit. Ohne die dort vorgefundene individuelle und freie

Unterrichtsgestaltung wäre auch ein ausgiebiges Testen der Idee nicht möglich gewesen.

Fragen unterstützt hat und immer wieder eine inspirierende Quelle neuer Motivation war.

mich obendrein mit ausgesprochen leckerem Essen beköstigt haben. Ebenso danke ich allen, die es

mir während dieser Zeit ermöglichten, Aikido zu trainieren oder Tischtennis zu spielen und mich

Da ich vollkommen ahnungslos ins Buchgeschehen eingetaucht bin, freue ich mich, auf Menschen

getroffen zu sein, die bereit waren, ihre langjährige Erfahrung und ihr Fachwissen zu teilen und mir

sehr großzügig hilfreiche Erklärungen und Ratschläge gegeben haben. Namentlich danke ich:

- Ilka für die zahlreichen Gestaltungtipps,

- Maxi für die erfrischende Einführung ins Verlagsgeschäft,

Auch diesmal hat Schorsch mich in zahlreichen Gesprächen auf mathematische Zusammenhänge

einer tiefverschneiten Schleppliftfahrt, der dazu führte, die Darstellung des Skalarprodukts als

orientierte Fläche zu gestalten.

Schließlich danke ich allen Menschen, die mich darin bestärkten, dieses Buch zu schreiben und

ungeachtet aller Bedenken in meinem Sinne umzusetzen. In diesem Zusammenhang seien besonders

Denis und Wilson erwähnt.

- Teil 2 -

Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat.

Jules Verne (1828 - 1905)

Inhalt

1.  Einleitung  1

2.  Grundbegriffe  2

3.  Betrag der Vektorenprodukte  6

4.  Geradengleichung  10

4.1.   10

4.2.  Koordinatenform  10

4.3.  Wandlung  11

5.  Ebenengleichung  15

   16

5.2.  Normalenform  16

5.3.  Allgemeine Koordinatenform  17

5.4.   17

5.5.  Wandlung  18

6.  Spurpunkt  22

6.1.  Geradenspurpunkt  22

6.2.  Ebenenspurpunkt  23

7.  Spurgerade  27

8.  Lagebeziehung  30

   30

   30

8.3.  Gerade und Ebene  31

8.4.  Gerade und Gerade  32

8.5.  Ebene und Ebene  34

9.  Abstand  46

   46

   46

   46

9.4.  Gerade und Gerade  47

9.5.  Gerade und Ebene  47

9.6.  Ebene und Ebene  47

10.  Projektion  51

10.1.  Normalprojektion  52

10.2.  Zentralprojektion  54

11.  Spiegelung  59

   60

11.2.  An Gerade  62

11.3.  An Ebene  65

12.  Wissenswertes  75

Man kann einen Menschen nichts lehren, man kann ihm nur helfen, es in sich selbst zu entdecken.

Galileo Galilei (1564 - 1642)

1. Einleitung

Die Raumgeometrie wird auch analytische Geometrie oder lineare Algebra genannt und beschäftigt

sich mit der Beschreibung von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum. Dies geschieht mit Hilfe von

Vektoren und findet in verschiedensten Bereichen Anwendung. Die Vektorrechnung ist für

Vektorgrafiken in Computern oder für das richtige Funktionieren von Videokompression

unerlässlich. Auch punktgenaue Navigation im Flugverkehr wäre ohne Vektoren undenkbar.

Als Bezugssystem dient dabei ein dreiachsiges kartesisches Koordinatensystem, in welches Punkte,

Geraden und Ebenen eingetragen werden können. Zunächst soll es darum gehen, wie diese Elemente

mit Vektoren beschrieben werden. Sobald darin Sicherheit besteht, werden die für den Schulstoff

wichtigsten Anwendungsmöglichkeiten vorgestellt. So lassen sich Lagebeziehungen untersuchen,

Abstände bestimmen sowie Projektionen und Spiegelungen vornehmen. Dabei ist die Reihenfolge

nicht ohne Grund gewählt, denn eine Projektion ist zum Beispiel ohne die Kenntnis der

Lagebeziehungen nicht möglich. Deshalb ist die Anordnung einzelner Kapitel aufeinander aufbauend

dargestellt und es wird oft inhaltlicher Rückgriff auf Vorhergehendes genommen.

Am Ende eines jeden Kapitels finden sich Erklärungsbeispiele, welche teilweise auch durch mehrere

Gebiete gezogen sind. Deshalb wird unter Umständen auf Ergebnisse vorheriger Kapitel verwiesen.

So tauchen bei den Aufgaben für Spiegelungen die Ergebnisse von den Projektionen und dort

wiederum diejenigen der Lagebeziehungen auf. Fehlt also einmal eine ausführliche Berechnung,

kann davon ausgegangen werden, dass diese bereits vorher erfolgt ist.

Für die Rechenansätze eilt wieder die Null zur Hilfe - genauer Nullpunkte und Nullflächen.

Da ein Vektor aus drei Zahlen besteht, ist es möglich, sich aus der horizontalen Anordnung von

Vektoren ein lineares Gleichungssystem aus drei Zeilen zu erstellen. Dies wird weitestgehend

vermieden, da das Lösen eines Gleichungssystems oft umständlicher und weniger aussagekräftiger ist

als die hier vorgeschlagene Alternative des konsequenten Rechnens mit Vektoren. Lediglich für zwei

Fälle ist ein lineares Gleichungssystem als Lösungsansatz von Vorteil. Diese sind die Bestimmung

von Schnittpunkten und Schnittgeraden.

Wieder einmal ist ein tiefergehendes Verständnis der Materie nicht zu erlangen, ohne sich über die

Bedeutung einiger Begriffe im Klaren zu sein. Es kann dabei nicht oft genug wiederholt werden, dass

die Kenntnis der geometrischen Bedeutung der Vektorenprodukte (Skalar- und Vektorprodukt) und

ihrer Beträge von immenser Wichtigkeit ist. Nützlich ist auch, sich immer zu überlegen, ob es sich

bei einem gegebenen Vektor um einen Orts- oder Richtungsvektor handelt.

^{© Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Raumgeometrie)} 1

2. Grundbegriffe

Auch in der Raumgeometrie ist die Kenntnis einiger Begriffe sowie deren Bedeutung notwendig.

Beim kartesischen Koordinatensystem mit drei aufeinander senkrecht stehenden Koordinatenachsen

wurde sich auf ein rechtshändiges System geeinigt. So unbekümmert das Sein in der dritten

Dimension auch sein mag, umso erstaunlich schwerer ist das Zurechtfinden desselben in einem

Koordinatensystem. Es kann also nicht schaden, sich einige Punkte in ein selbstgemaltes

Koordinatensystem einzutragen, um ein Gefühl für die Darstellung des Raums zu bekommen.

Wie zu sehen, tragen alle Pfeile den Begriff des Vektors. Allgemein gesprochen ist ein Vektor ein

freischwebenden Pfeil, welcher nicht im Koordinatenursprung verankert sein muss. Die Tatsache,

dass der Pfeil im Raum freibeweglich ist, führt meist zu Darstellungsproblemen, denn im Grunde

kann der Vektor nicht nur an einem bestimmten Ort des Koordinatensystems sein, sondern sich über

eine Parallelverschiebung überall hin bewegen. Da diese Bewegung gleichzeitig erfolgt, ist ein

Vektor eigentlich überall im Raum und es ist deshalb auch von Pfeilklassen die Rede.

^{© Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Raumgeometrie)} 2

Vektor: Freibeweglicher Pfeil bestimmter Länge und Richtung (lat.: "Träger").

Punkt: Nocke oder Spitze des Vektorpfeils

Addition: Positives Anheften eines Vektors an einen anderen (kurz: an Spitze heften)

Subtraktion: Negatives Anheften eines Vektors an einen anderen (kurz: an Nocke heften)

Vektorbildung: Vektor = Ende (Spitze) - Anfang (Nocke)

a AB B A

Vielfaches: Jeder Vektor kann durch eine (reelle) Zahl vervielfacht oder geteilt werden.

Bei Geraden und Ebenen dient der so genannte Parameter als Schrittweite.

Multiplikation: Skalarprodukt (Punktprodukt) Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Ergebnis = orientierte Fläche Ergebnis = Normalenvektor

Betrag: Länge oder Norm eines Vektors

Vektor o Nullvektor: mit dem Betrag 0.

aufgefasst werden.

Jeder Punkt A kann als Nullvektor AA

a Einheitsvektor: Vektor 0 mit dem Betrag 1.

Ortsvektor: Nocke ist der Koordinatenursprung.

Jeder Punkt A kann als Ortsvektor A aufgefasst werden.

Stützvektor: Ortsvektor, an dessen Spitze ein anderer Vektor haftet.

Ortsvektoren in Geraden- und Ebenengleichung sind immer Stützvektoren.

Richtungsvektor: Vektor, dessen Nocke an der Spitze eines Stützvektors haftet.

Spannvektor: Einer von zwei Richtungsvektoren (mit gemeinsamer Nocke).

Die Spannvektoren spannen ein Parallelogramm (in der Ebene) auf.

Normalenvektor: Vektor, der senkrecht (math.: normal) zu zwei Spannvektoren steht.

Länge entspricht dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Achsenvektor: Ortsvektor mit 2 Nullkoordinaten, der auf einer Koordinatenachse liegt.

^{© Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Raumgeometrie)} 3

Erklärungsbeispiele

B 4;5;6 ges.: Vektor AB geg.: Bsp. 1

Lsg.: 1. Ortsvektoren

A OA A O 2 0

B OB B O 5 0

Werden direkt die Koordinaten eines Punkts genommen, so handelt es sich immer um einen

Ortsvektor, dessen Nocke im Ursprung verankert ist und dessen Spitze zum Punkt weist.

2. Verbindungsvektor

AB B A

C 4;2;0 ges.: Schwerpunkt im ABC geg.: Bsp. 2

Lsg.: 1. Ortsvektor

A B C

S

3

1 4 4

2 5 2

3 6 0

S

3

S

2. Schwerpunkt

S 3;3;3

^{© Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Raumgeometrie)} 4

Lsg.: 1. Addition

a b 0

2. Subtraktion

a b 0

3. Vervielfachung

4. Multiplikation

a b

a b

Es gibt keine vektorielle Division, dafür aber zwei Arten der Multiplikation.

5. Quadrierung

² a a a

6. Betrag

3. Betrag der Vektorenprodukte

Die Beträge der Vektorenprodukte sind immer Flächen, die ihrem Inhalt nach Längen oder gar

Winkelbeziehungen entsprechen können. Sie besitzen eine Schlüsselfunktion bei der Strukturierung

der Raumgeometrie und sind als Visualisierung äußerst nützlich, um den Stoff wirklich zu verstehen.

Seitenlängen

Winkelbeziehungen

^{© Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Raumgeometrie)} 6

Mit dem Betrag der Vektorenprodukte lassen sich jeweils die Bedingungen für die Parallelität und

die Orthogonalität zweier Vektoren sehr eingängig herleiten:

Vektorprodukt Skalarprodukt

a b a b

Vektoren liegen übereinander Kein Schatten (wegen Normalprojektion)

Keine Fläche zwischen Schatten und Vektor! Keine Fläche zwischen Vektoren!

Auch die bestehenden Winkelbeziehungen erschließen sich nun ohne weiteres:

Vektorprodukt Skalarprodukt

sin a b cos a b

0 0 0 0

Warum wird zur Winkelberechnung dann das Skalarprodukt ohne Betragszeichen verwendet?

Das Skalarprodukt als vom Winkel abhängig orientierte Fläche hat mehr Aussagekraft.

a b 0 a b 0 a b 0

90 90 90

Mit dem Betrag wird nur der kleinere Winkel berechnet, da die verwendete Fläche nicht orientiert ist.

Ist , würde mit dem Betrag nur der äußere Winkel erhalten werden.

Ohne den Betrag wird deshalb gleich der richtige Winkel erhalten!

Das Punktprodukt ohne Betrag ist auch einfacher zu berechnen als das Kreuzprodukt mit Betrag.

Schnittwinkel:

¹ sin a b Neigungswinkel: sin a b

^{0 0} 0 0

Erklärungsbeispiele

3

geg.: und a 0

4

Lsg.: 1. Vektorprodukt = Normalenvektor

3 4

a b 0 0

4 3

2. Betrag des Vektorprodukts = Parallelogrammfläche

3. Betrag des Skalarprodukts = Rechteckfläche

4. Betrag der Vektoren = Vektorlänge

5. Einheitsvektoren = Auf die Länge 1 gebrachte Vektoren

a

0

6. Schnittwinkel

¹

cos a b 0 0

7. Winkelhalbierender Vektor = Rautendiagonale

w a b

0 0

^{© Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Raumgeometrie)} 8