Titel:

"Entwurf einer Stromregelung mit definiertem dynamischem Verhalten für einen Permanentmagnet-Synchronmotor mit eingebetteten Magneten (IPMSM)"

Aufgabenstellung:

Die feldorientierte Regelung von Drehstromantrieben ist heute Stand der Technik. Ein wesentlicher Bestandteil ist dabei die Stromregelung, der weitere Regelkreise, wie beispielsweise eine Drehzahl- oder Positionsregelung, überlagert werden können. Wenn der Motor im Flussschwächbereich betrieben werden soll, kann zusätzlich der Einsatz einer überlagerten Aussteuerungsregelung notwendig sein. In der Elektrotraktion können überlagerte Funktionen zur Beherrschung von Schlupf- und Schleudervorgängen, sowie zur aktiven Dämpfung von Schwingungen im Antriebsstrang zur Anwendung kommen. In jedem Fall müssen diese überlagerten Regelkreise auf die Dynamik der unterlagerten Stromregelung abgestimmt werden, welche meist arbeitspunktabhängig ist. Es ist hierbei jedoch auch denkbar, der unterlagerten Stromregelung ein genau definiertes dynamisches Verhalten aufzuprägen, welches dann seitens der überlagerten Regelung vorausgesetzt werden kann. Der Entwurf einer solchen Stromregelung soll im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden.

Es soll eine Stromregelung entwickelt werden, die einem Permanentmagnet-Synchronmotor mit eingebetteten Magneten (IPMSM) ein definiertes dynamisches Verhalten aufprägt. Dabei soll ein IPMSM betrachtet werden, der als Traktionsantrieb für ein rein elektrisch angetriebenes Automobil ausgelegt wurde. IPMSM weisen aufgrund der asymmetrischen Induktivitäten unterschiedliches dynamisches Verhalten hinsichtlich der beiden bei der feldorientierten Stromregelung einzuprägenden Stromkomponenten auf. Darüber hinaus treten bei dem betrachteten Motor ausgeprägte Sättigungseffekte auf. Die zu entwickelnde Regelung soll dem betrachteten Motor ein PT1-Verhalten mit definierbarer Zeitkonstante einprägen. Darüberhinaus ist eine Drehmomentsteuerung zu realisieren, welche der Stromregelung geeignete Arbeitspunkte in Abhängigkeit des Solldrehmoments hinsichtlich minimaler Stromwärmeverluste vorgibt. Der Regelungsentwurf soll zeitkontinuierlich ausgeführt werden. Die Ergebnisse sind mittels Simulationen zu verifizieren. Die Funktionsfähigkeit der entworfenen Regelung ist durch Messungen am Prüfstand zu dokumentieren. Hierzu sind die Regler zeitdiskret umzusetzen.

Ausgabe: Mai 2010 Abgabe: September 2010

Abkürzungen

ARW Anti-Reset-Windup ASM Asynchronmaschine BO Betragsoptimum DO Dämpfungsoptimum DSP Digitaler Signalprozessor FOR Feldorientierte Regelung FEM Finite Elemente Methode IMC Internal Model Control IPMSM Interior Permanent Magnet Synchronous Motor (Permanentmagnet-Sychronmaschine mit eingebetteten Magneten) ISE Integral Square Error (Integrierter quadratischer Regelfehler) LUT Lookup Table MTPC Maximum Torque per Current (Maximales Drehmoment pro Strom) MTPF Maximum Torque per Flux (Maximales Drehmoment pro Fluss) PMSM Permanentmagnet-Synchronmotor PWM Pulsweitenmodulation SM Synchronmotor SO Symmetrisches Optimum SPMSM Surface-Mounted Permanent Magnet Synchronous Motor (Permanentmagnet-Sychronmaschine mit aufgesetzten Magneten)

Formelzeichen

B Magnetische Flussdichte E Elektrische Feldstärke e(t) Allgemeiner Regelfehler F Lorentzkraft F dq Filter im IMC-Verfahren

g G G A Allpassanteil einer Übertragungsfunktion

G D G dq G dq,Ges des Umrichters

G f G MP G R,dq Stromregler der feldorientierten Regelung G R,h Hilfsstromregler für das IMC-Verfahren G R,IMC (Interner) IMC-Regler

G R,IMC,opt G U

I 0 Kurzschlussstrom I max Maximal zulässiger Statorstrombetrag für den Dauerbetrieb Statorströme im statorfesten α-β -Koordinatensystem i ^αβ i dq i ∗

dq J k Verhältnis von Maximal- zu Kurzschlussstrom K i , K p Integraler und Proportionaler Verstärkungsfaktor eines PI-Reglers

L d L q

L dd,di f f , L qq,di f f L dq,di f f , L qd,di f f

n mech Mechanische Drehzahl p Polpaarzahl q Elektrische Ladung R S Ohmscher Widerstand der Statorwicklungen S a,b,c Steuersignale der PWM T ∗ Solldrehmoment T A Abtastzeit

T f ,dq T dq Ständerzeitkonstanten T L Lastdrehmoment

T M T max (ψ max ) T N T PT 1,Soll Solltrajektorien PT1-Zeitkonstante für definierte Solldynamik T U

Approximierte Umrichtertotzeit Statorspannungsvektor im statorfesten α-β -Koordinatensystem u ^αβ u i , u p Ausgangsspannung des I- bzw. P-Anteils eines PI-Reglers u dq Statorspannungsvektor im rotorfesten d-q-Koordinatensystem U dc Zwischenkreisspannung u dq Statorspannungen im rotorfesten d-q-Koordinatensystem u ∗

dq

(u ∗ dq ) ∗

u max Maximal zulässiger Statorspannungsbetrag u pol,dq Rotatorisch induzierte Spannung u vor,dq Vorzusteuernde Spannung zur Entkopplung der d- und q-Regelkreise u S Allgemeine Statorspannung

V R δ (t) Δε Winkelvorhalt

Δi dq Stromregelfehler als Differenz von Soll- zu Istwert Δi f ,dq Δu

∗ Δu dq ε mech Mechanischer Rotorwinkel ε RS Elektrischer Rotorwinkel ω mech Mechanische Winkelgeschwindigkeit des Rotors gegenüber dem Stator ω RS Elektrische Winkelgeschwindigkeit des Rotors gegenüber dem Stator ψ d,q Flussbetrag im rotorfesten d-q-Koordinatensystem ψ max Maximal zulässiger Statorflussbetrag ψ P Permanentflussbetrag ψ S Allgemeiner Statorflussbetrag ψ α,β Flussbetrag im statorfesten α-β -Koordinatensystem

|ψ| ψ opt (T ∗ ) ∇ Nabla-Operator

Indizes

a, b, c Bezogen auf die Phasen a, b, c α Bezogen auf die α-Achse des statorfesten α-β -Koordinatensystems

β d

q S R Rotorgröße

Allgemeine Festlegungen

x, X Vektorielle Größe x, X Skalere Größen x ∗ , X ∗ Sollgröße

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Permanentmagnet-Sychronmotor (PMSM)  3

2.1  Aufbau und Bauformen  3

2.2  Modellierung  5

2.2.1  Koordinatensysteme und Raumzeiger  5

2.2.2  Allgemeine Spannungsgleichungen  8

2.2.3  Vernachlässigung von Eisen-Sättigungseffekten  9

2.2.4  Modellierung von Eisen-Sättigungseffekten  11

2.2.5  Drehmomentbildung  15

2.2.6  Wirkungsplan  17

2.3  Betriebsgrenzen eines IPMSM  19

2.3.1  Stromgrenze  19

2.3.2  Spannungsgrenze  19

2.3.3  Typische Motorkennlinien eines IPMSM  21

3  Betriebsstrategien eines IPMSM  24

3.1  Ein Überblick  24

3.2  Herleitung der MTPC-Strategie  27

3.3  Betriebsstrategie für den Flussschwächbereich  29

3.3.1  Unterer Flussschwächbereich  29

3.3.2  Oberer Flussschwächbereich  31

3.4  Vorstellung einer Gesamtbetriebsstrategie  32

4  Feldorientierte Stromregelung  36

4.1  Anforderungen an die Regelungsstruktur  37

4.2  Konzept der feldorientierten Stromregelung  38

4.2.1  Gesamtstruktur der feldorientierten Regelung  41

4.2.2  Erste Reglersynthese nach dem Symmetrischen Optimum (SO)  43

4.2.3  Anti-Reset-Windup (ARW)  44

iv

  Inhaltsverzeichnis  v

4.2.4  Erste Simulationsergebnisse  46

4.3  Adaptive Stromregelung  49

4.3.1  Umsetzung am Beispiel eines PI-Reglers nach dem SO  50

5  Stromregelung mit definiertem dynamischem Verhalten  53

5.1  Erster Ansatz: Führungsglättung  53

5.2  Zweiter Ansatz: Internal Model Control  58

5.2.1  Theoretische Grundlagen  58

5.2.2  Implementierung des IMC-Reglers im IPMSM Stromregelkreis  66

5.2.3  Reduzierung der Auswirkung von Entkopplungsfehlern  69

5.3  Kombination der Ansätze  72

6  Implementierung und Validierung am Prüfstand  77

6.1  Versuchsaufbau  77

6.2  Überprüfung des Ansatzes mit Führungsglättung  79

6.3  Überprüfung des Ansatzes nach dem IMC-Verfahren  80

6.4  Überprüfung des kombinierten Ansatzes  85

7  Fazit und Ausblick  87

  Literaturverzeichnis  90

Anhang A:  Anmerkungen zum beiliegendem Datenträger  92

Anhang B:  Optimale Filterzeitkonstantenkombination im IMC-Regelkreis  93

Anhang C:  Zusätzliche Messschriebe  95

Verbrennungsmotoren dominieren seit über einem Jahrhundert in ihrer Funktion als Traktionsantriebe in Automobilien und werden erst seit einigen Jahren aufgrund ihrer schlechten ökologischen und ökonomischen Perspektiven stärker hinterfragt. Der Trend zu möglichst sparsamen und umweltfreundlichen Fahrzeugen setzt sich in Politik, Gesellschaft und Automobilindustrie immer stärker durch. Nicht zuletzt aufgrund des Klimawandels und der absehbaren Verknappung und Verteuerung von Rohöl, erfreuen sich Elektromotoren als alternative Antriebstechnologie wachsender Beliebtheit. Zum einen stellt die Kombination von Verbrennungs- und Elektromotor ein Antriebskonzept dar, mit dem eine höhere Effizienz gegenüber einem reinen Verbrennungsmotor erreicht werden kann. Zum anderen wecken rein elektrisch angetriebene Fahrzeuge zunehmend das Interesse der Öffentlichkeit und stellen z.B. als Mega City Vehicle, inbesondere bei zunehmend regenerativem Energiemix, ein klimafreundliches Fahrzeugkonzept in Großstädten dar.

Der Permanentmagnet-Synchronmotor mit eingebetteten Magneten (IPMSM) zeichnet sich durch eine vergleichsweise hohe Leistungs- und Drehmomentdichte aus und wird daher zunehmend als Traktionsantrieb in Hybrid- und Elektrofahrzeugen eingesetzt. Ein wesentlicher Grund für die gesteigerte Leistungs- und Drehmomentdichte von IPMSM sind verbesserte Magnetmaterialien aus Metallen der Seltenen Erden mit denen sich sehr hohe Energiedichten realisieren lassen. Um diesen Motor als Traktionsantrieb einzusetzen, bedarf es einer Regelung, welche dem Motor ein gefordertes Verhalten aufprägt. Dabei kommt meist eine feldorientierte Stromregelung zum Einsatz, der weitere Regelkreise wie z.B. eine Drehzahlregelung, eine Schlupfregelung oder eine aktive Schwingungsdämpfung überlagert werden. Der Fokus dieser Arbeit liegt dabei auf der feldorientierten Stromregelung. Insbesondere aufgrund von Sättigungseffekten sowie Stellgrößenbegrenzungen weist die Stromregelung jedoch eine stark arbeitspunktabhängige Dynamik auf. Dies erschwert die Auslegung überlagerter Regelungsfunktionen, da für diese das Verhalten der unterlagerten Stromregelung bekannt sein muss. Im Gegensatz dazu soll im Zu-

ge dieser Arbeit eine Stromregelung entworfen werden, welche dem betrachteten System ein weitgehend lineares und somit arbeitspunktunabhängiges Verhalten aufprägt. Dieses definierte Verhalten kann dann hinsichtlich überlagerter Regelkreise vorausgesetzt werden. Hierdurch ist

1

ein erleichterter Entwurf und eine bessere Regelgüte für die überlagerten Regelfunktionen zu erwarten.

In Kapitel 2 werden die theoretischen Grundlagen für das Verständnis von IPMSM dargestellt. Dabei wird motiviert warum der IPMSM als Traktionsantrieb besonders geeignet ist und es findet eine Abgrenzung zu weiteren Bauformen von Permanentmagnet-Synchronmotoren statt. Bei der mathematischen Beschreibung des Motors liegt ein besonderer Fokus auf der Modellierung von Eisen-Sättigungseffekten. Darüberhinaus werden die Betriebsgrenzen als Randbedingung der späteren Betriebsstrategie und Stromregelung betrachtet.

In Kapitel 3 werden mögliche Betriebsstrategien diskutiert und eine Arbeitspunktsteuerung, die der Stromregelung vorgelagert ist, vorgestellt. Dabei wird erläutert, warum eine Optimierung der Arbeitspunktsteuerung für das maximale Drehmoment pro Strom eine geeignete Annäherung einer wirkungsgradoptimalen Strategie ist. Desweiteren werden die Begriffe des Ankerstell-und Flussschwächbereichs erläutert. Außerdem wird eine Implementierung der Arbeitspunktsteuerung durch Kennlinienfelder, welche am Fachgebiet für Leistungelektronik und Elektrische Antriebstechnik der Universität Paderborn erarbeitet wurde, beschrieben.

In Kapitel 4 wird das feldorientierte Regelungskonzept vorgestellt. Dabei wird u.a. auf die Verkopplung der Stromregelkreise des IPMSM bedingt durch die rotatorisch induzierte Spannung und durch Eisen-Sättigungseffekte eingegangen. Es werden entsprechende Entkopplungsmaßnahmen vorgestellt, die dazu führen, dass die Statorstromkomponenten weitgehend unabhängig voneinander geregelt werden können. Zudem findet eine erste Reglersynthese statt und simulativ wird dieses Regelungskonzepts weiter untersucht. Das stark arbeitspunktabhängige Systemverhalten kann dabei beobachtet werden. Desweiteren wird auf die arbeitspunktabhängige Parameterveränderung der Regelstrecke eingegangen und eine adaptive Regelung vorgestellt.

In Kapitel 5 werden dann drei Ansätze zum Aufprägen eines definierten dynamischen Verhaltens auf die Stromregelung vorgestellt. Dabei wird ein einfacher Ansatz mit Führungsglättung, ein Ansatz nach dem Intenal Model Control Verfahren und ein kombinierter Ansatz aus diesen beiden verfolgt. Simulativ findet hier bereits eine erste Validierung statt.

In Kapitel 6 werden die vorgestellten Verfahren durch Messungen am Prüfstand untersucht und verglichen. Dafür findet zunächst eine Diskretisierung statt, da der Reglerentwurf von einer quasi-kontinuierlichen Auslegung ausgegangen ist. Zudem werden eine Reihe von Einflussfaktoren, welche die Regelgüte und die Messergebnisse negativ beeinflussen, diskutiert.

Abschließend wird in Kapitel 7 ein Fazit gezogen. Hierfür werden sowohl wichtige Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst und bewertet als auch ein Ausblick für zukünftige Arbeiten gegeben.

In diesem Kapitel wird zunächst eine Übersicht über die Formen und den Aufbau verschiedener PMSM Typen gegeben. Darauf aufbauend soll motiviert werden, warum der Schwerpunkt dieser Arbeit auf der Bauform mit eingebetteten Magneten (IPMSM) liegt. In Kapitel 2.2 erfolgt dann die Modellierung des Motors. Dafür werden zunächst geeignete Koordinatensysteme und -transformationen vorgestellt, die dann in 2.2.1 zur mathematischen Beschreibung des Motors herangezogen werden. In Kapitel 2.2.2 und 2.2.5 werden dann die Spannungs- und Drehmomentgleichungen in statorfesten als auch in rotorfesten Koordinaten hergeleitet. Hierbei wird u.a. auf die Modellierungsschwierigkeiten von Eisen-Sättigungseffekten eingegangen, welche für diesen Maschinentyp charakteristisch sind. Die Berücksichtigung dieser Effekte mittels Kennfeldern basierend auf auf gemessenen oder durch FEM-Simulation gewonnenen Daten wird vorgestellt.

Im Kapitel 2.2.6 werden dann die bisherigen Ergebnisse zusammengefasst und zur übersichtlichen Darstellung in einem Wirkungsplan wiedergegeben.

Danach werden in Kapitel 2.3 die Betriebsgrenzen der Maschine unter Einbeziehung des speisenden Umrichters hergeleitet und diskutiert. Im letzten Kapitel 2.3.3 werden dann die typischen Motorkennlinien eines IPMSM vorgestellt und abschließend zwei wichtige Kenngrößen sowie deren Bedeutung für die Kennlinienverläufe betrachtet.

2.1 Aufbau und Bauformen

Die Synchronmotor (SM) besteht im Wesentlichen aus einem feststehenden Stator und einem rotierenden Polrad bzw. Rotor. Der Stator besitzt eine dreiphasige Drehstromwicklung. Das Polrad dient als Erregereinrichtung. Die Erregung erfolgt entweder durch eine mit Gleichstrom gespeiste Wicklung oder durch Permanentmagnete. Die Besonderheit der Synchronmaschine liegt darin, dass der Rotor synchron mit dem Drehfeld im Stator umherläuft.

Sychronmaschinen mit Permanentmagneten haben gegenüber mit Gleichstrom gespeisten Sychronmaschinen wesentliche Vorteile. So sind diese weitestgehend wartungsfrei und zeichnen sich durch eine hohe Leistungsdichte und kompaktere Bauweisen aus [9]. Daher werden gleich-

3

2.1 Aufbau und Bauformen 4

stromgespeiste Synchronmaschinen in dieser Arbeit nicht weiter untersucht. Ein PMSM hat auch einen höheren Wirkungsgrad als ein Synchronmotor mit Erregerwicklung, da keine elektrische Leistung für die Erregung notwendig ist. Der Wirkungsgrad ist ebenfalls höher als bei Asynchronmaschinen, da keinerlei Strom zur Magnetisierung benötigt wird, der zu Wärmeverlusten im Rotor führt. Aufgrund dieser Eigenschaften erreichen PMSM hohe Drehmomente bei geringer Baugröße und niedrigem Gewicht und weisen einen sehr guten Wirkungsgrad auf[20].

In Bild 2.1 sind die wesentlichen Bauformen von PMSM für die Polpaarzahl p = 2 dargestellt. Der Stator ist bei allen drei Bauformen gleich und die Unterschiede beschränken sich lediglich auf die Ausführungsform des Rotors. Hierbei unterscheidet man Bauformen bei denen die Magnete aufgebracht (Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor - SPMSM) oder eingebettet (Interior Permanent Magnet Sychnronous Motor - IPMSM) sind [2]. Weitere Bauformvarianten der hier vorgestellten drei Grundtypen findet man u.a. in [9] oder [20]. Da

(a) Aufgebrachte Magneten

Permanentmagnete nahezu die gleiche Permeabilität wie Luft aufweisen (μ r ≈ 1) unterscheiden sich die betrachteten Bauformen dadurch, dass bei den in den Abbildungen 2.1b und 2.1c dargestellten Bauformen der effektive Luftspalt über dem Rotorumfang nicht konstant ist. Aus diesem Grund sind die Ständerinduktivitaten der drei Statorstränge bei diesen Bauformen von der Rotorstellung abhängig. Auf diese Eigenschaft wird im Kapitel 2.2 näher eingegangen.

Die Permanentmagneten von PMSM werden typischerweis aus Ferriten, Alnico (eine Legierung, die hauptsächlich aus Aluminium, Nickel und Cobalt besteht) oder Metallen der Seltenen Erden, wie z.B. Neodym-Eisen-Bor (NeFeB) oder Samarium-Kobald (SmCo), hergestellt [5][9]. Dabei werden die Metalle der Seltenen Erde für IPMSM als Traktionsantrieb bevorzugt, da diese sehr hohe Remanenzflussdichten (über 1 T) sowie hohe Koerzitivfeldstärken (bis zu 1

2.2 Modellierung 5

kA/cm) besitzen [17]. Permanentmagnete aus Metallen der Seltenen Erden können sehr dünn gefertigt werden, was zu einer Verringerung der Baugröße und einem niedrigeren Massenträgheitsmoment des Rotors führt.

Beim weiteren Vergleich zwischen SPMSM und IPMSM kann festgestellt werden, dass die Rotorstruktur mit eingebetteten Magneten eine sowohl höhere Leistungsdichte als auch einen besseren Wirkungsgrad besitzt. Dies hängt insbesondere mit den bauformabhängigen Statorinduktivitäten zusammen, welche beim IPMSM ein zusätzliches Drehmoment, das sog. Reluktanzmoment, erzeugen. Daher fällt insbesondere die Baugröße der IPMSM bei ähnlichen Leistungsdaten im Vergleich zur SPMSM kleiner aus [20]. Dieser Motortyp wird daher vor allem in Anwendungen, bei denen der Bauraum begrenzt ist, bevorzugt. IPMSM werden insbesondere verstärkt als Traktionsantriebe im Bereich der elektrischen Automobiltantriebe eingesetzt [14]. Für diese Arbeit soll daher auch davon ausgegangen werden, dass der betrachtete Motortyp als Traktionsantrieb im Automobilbereich eingesetzt wird.

Aufgrund der zuvor beschriebenen positiven Eigenschaften wird sich diese Arbeit daher auf PMSM konzentrieren, die Charakteristika von IPMSM entsprechend Abbildung 2.1b bzw. 2.1c aufweisen. Im Folgenden findet eine einfache mathematische Modellierung des IPMSM statt, die zunächst das Wirkprinzip dieses Drehstrommotors verdeutlichen soll. Hierbei wird u.a. auf die charakteristischen Unterschiede zwischen IPMSM und SPMSM bezüglich der Induktivitätsverteilung eingegangen.

2.2 Modellierung

2.2.1 Koordinatensysteme und Raumzeiger

Es ist bekannt, dass ausgehend von einem PMSM angeschlossen an einem symmetrischen Drehstromsystem ohne Nullleiter, sich die drei Strangkomponenten einer komplexen Größe x (z.B. die Ströme) im arithmetischen Mittel zu Null ergeben: x a + x b + x c = 0.

Dies bedeutet, dass bei Kenntnis zweier der drei Signale einer Größe x das dritte Signal aufgrund der Nullbedingung berechnet werden kann, d.h. zur Beschreibung der Dreiphasen-Größen genügen jeweils nur zwei Elemente. Daher sind die Einheitsvektoren der drei Elemente von x nicht linear unabhängig und können sowohl vollständig als auch eindeutig durch die zwei Ele- eines orthogonalen Koordinatensystem, im Folgenden α-β -Koordinatensystem genannt,

beschrieben werden [11][18]. Die Umrechnung in ein orthogonales Koordinatensystem vereinfacht dabei die Rechenwege und erleichtert die Darstellung wesentlicher Zusammenhänge.

Die Umrechnung der dreisträngigen Größen in das α-β -Koordinatensystem kann anhand der

Abbildung 2.2a verdeutlicht werden. Die Berechnung erfolgt über die Vorschrift 2.1, die Rück- transformation über die Berechungsvorschrift 2.2.

2.2 Modellierung 6

(a) Statorfestes α − β −Koordinatensystem (b) Rotorfestes d-q-Koordinatensystem

Eine alternative Betrachtung kann nach [1] über die Außenleitergrößen erfolgen. Dabei gilt:

x ab = x a − x b

Die Transformation in das orthogonale α-β -Koordinatensystem erfolgt dann über die Vorschrift

2.3, die entsprechende Rücktransformation in die Außenleitergrößen erfolgt über die Berechnungsvorschrift 2.4.

2.2 Modellierung 7

√

Das hergeleitete α-β -Koordinatensystem orientiert sich am Stator und kann somit als ortsfest

oder auch statorfest bezeichnet werden. Betrachtet man einen PMSM im stationären Zustand bei einer Drehzahl ungleich Null, liegen im statorfesten Koordinatensystem die Ströme, Spannungen und Flüsse in Form von sinusförmigen Wechselgrößen vor. Bei einer Transformation

in ein rotorfestes Koordinatensystem, welches am Permanentfluss ψ p ausgerichtet ist, liegen

die betrachteten Größen als Gleichgrößen vor. Eine Darstellung des PMSM im rotorfesten Koordinatensystem vereinfacht die mathematische Modellierung daher enorm und sie ermöglicht eine Übertragung der bekannten Regelungsstrukturen von Gleichstrom- auf Drehfeldmaschinen [14].

Die Achse des Koordinatensystems, die mit der Richtung des Permanentflusses ψ p überein- wird dabei als d-Achse (direct Axis), die Achse die senkrecht dazu steht als q-Achse (quadrature axis), bezeichnet.

Abbildung 2.2b veranschaulicht die Transformation zwischem dem statorfesten und rotorfesten Koordinatensystem. Die Transformation zwischem den beiden Koordinatensystem erfolgt durch die Gleichung 2.5 und 2.6 bzw. Gleichung 2.7 , die sog. Park-Transformation für die

der Rotorwinkel ε RS bekannt sein muss. ε RS beschreibt dabei den Drehwinkel zwischen der α- Achseund der Magnetisierungsrichtung der Permanentmagnete, also der d-Achse. Die Transformation der einzelnen Komponeten einer Größe x zwischen dem statorfesten und rotorfesten Koordinatensystem erfolgt durch:

cos(ε RS ) sin(ε RS ) x d x

q Eine alternative Darstellungsform kann über die Raumzeiger erreicht werden. Die Transformation erfolgt entsprechend über:

− jε RS x S = x R e x R = x S e jε RS (2.7)

Dabei werden durch die Indizes S (ständesfest) und R (rotorfest) gekennzeichnet in welchem Koordinatensystem ein Raumzeiger beschrieben ist. Die Raumzeigerdarstellung ist dabei äquivalent zu der zuvor benutzen vektoriellen Schreibweise. Sie stellt daher allgemein eine räumli- che und zeitliche Darstellung von Signalen dar [18].

2.2 Modellierung 8

Da diese Transformation vom Winkel ε RS abhängt, der wiederum zeitabhängig ist, muss bei

der Transformation der zeitlichen Ableitung einer Größe die Produktregel entsprechend 2.8 beachtet und angewendet werden.

− jε RS − x S jωe − jε RS x S = ˙ jε RS + x R jωe x R = ˙ jε RS ˙ x R e ˙ x S e (2.8)

Dieser Satz von Transformationsgleichungen wird im Folgenden verwendet, um eine mathematische Modllierung des PMSM im rotorfesten d-q-Koordinatensysten herzuleiten. Auch bildet sie die Grundlage für die anschließenden Überlegungen zur feldorientierten Regelung des PMSM.

2.2.2 Allgemeine Spannungsgleichungen

Nach [1] oder auch [18] lautet die allgemeine Spannungsdifferentialgleichung einer Statorwicklung von Drehfeldmaschinen:

d ψ = R S i + S S S u (2.9)

dt

Der Index S symbolisiert wiederum, dass es sich um Statorgrößen handelt. Wendet man diese Gleichung auf das dreisträngige Modell aus Abbildung 2.3 an, so erhält man für die Strangspannungen in vektorieller Form: ⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤

⎣

Demnach ist ersichtlich, dass sich die Strangspannungen jeweils aus einem ohmschen Spannungsabfall am Innenwiderstand der Statorwicklungen sowie einer induzierten Spannung aufgrund des verketteten magnetischen Flusses zusammensetzen. Der verkettete Fluss besteht einerseits aus einem Anteil der durch die Permanentmagnete hervorgerufen wird, sowie aus einem Anteil, der jeweils durch den Statorstrom entsteht. Der durch die Statorströme induzierte Flussanteil kann auch in Analogie zur Gleichstrommaschine als Ankerrückwirkung bezeichnet werden [14].

Wendet man die zuvor beschriebene Transformation vom dreisträngigen ins orthogonale Koordinatensystem an, welche durch Gleichung 2.1 gegeben ist, ändert sich die grundsätzliche Form der Spannungsgleichung nicht:

Wie im vorherigen Unterkapitel gezeigt, ist es nun sinnvoll, die Spannungsgleichung vom sta- torfesten α-β - ins rotorfeste d-q-Koordinatensystem zu transformieren, da so die wesentlichen

2.2 Modellierung 9

Größen im eingeschwungenen Zustand als Gleichgrößen vorliegen. Wendet man die Gleichung 2.5 unter Berücksichtung der Ableitungsregel aus Gleichung 2.8 an, so erhält man die Spannungsgleichung des PMSM im d-q-Koordiatensystem:

ψ d − ω RS ψ q u d = R S i d + ˙

Gleichung 2.12 ist dabei unabhängig vom Auftreten von Eisen-Sättigungseffekten bzw. Kreuz-Sättigungseffekten gültig. Durch die Transformation ins rotorfeste Koordinatensystem tritt nun allerdings einer Verkopplung der Spannungsdifferntialgleichungen über das Produkt von verkettetem Fluss und Winkelgeschwindigkeit auf.

2.2.3 Vernachlässigung von Eisen-Sättigungseffekten

Können oder sollen (z.B. aus Vereinfachungsgründen) Eisen-Sättigungseffekte vernachlässigt werden, so ergibt sich die Flussverkettung in d-q-Koordinaten als Summe des Permanent-

flusses ψ P und der Ankerrückwirkung als Produkt von Strom und Induktivität der jeweiligen

2.2 Modellierung 10

Richtung[18]:

ψ d = ψ P + i d L d

Der Permanentfluss ψ P hat definitionsgemäß nur eine Komponente in d-Richtung (siehe Abbil- 2.3). Die Induktivitäten L d und L q sind jeweils der Längs- oder Querrichtung zugeordnet und sind aufgrund des rotorfesten d-q-Koordinatensystem unabhängig von der Lage des Rotors

ε RS . Dabei kann im Allgemeinen davon ausgegangen werden, dass bei einem IPMSM typischerweise L q > L d gilt.

Dementsprechend kann nun mit der bereits bekannten allgemeinen Spannungsgleichung 2.12 das Statorspannungsmodell unter Vernachlässigung von Sättigungseffekten beschrieben werden:

i d − ω RS L q i q u d = R S i d + L d ˙

2.2 Modellierung 11

Den einzelnen Summanden auf der rechten Seite von Gleichung 2.14 können folgende physikalische Bedeutungen zugeordnet werden:

• Ohmscher Spannungsabfall

• Selbstinduktionsspannung (durch die Felder des Ständerstroms induziert)

• Rotatorisch gebildete Polradspannung (von den Flusskomponenten induziert)

Durch die Spannungsdifferentialgleichungen 2.14 ergibt sich das in Abbildung 2.4 dargestellte Ersatzschaltbild der PMSM in rotorfesten d-q-Koordinaten. Dieses gibt das elektrische Verhalten des vereinfachten PMSM wieder und berücksichtigt die Wechselwirkung mit dem mechanischen Teilsystem über die durch Spannungsquellen symbolisierten induzierten Polradspannungen.

2.2.4 Modellierung von Eisen-Sättigungseffekten

Die Berücksichtigung von Sättigungseffekten bzw. Kreuzsättigungseffekten spielt insbesondere bei hochausgenutzen IPMSM im Einsatzgebiet der elektrischen Traktionsantriebe eine wesentliche Rolle. Diese liegen vor, sofern arbeitspunktabhängige Fluss- und damit einhergehende Flussdichteänderungen zu einer Veränderung der relativen Permeabilität bzw. Reluktanz des Eisens im Flusspfad führen. Das Auftreten und die Modellierung derartiger Sättigungseffekte ist Untersuchungsgegenstand zahlreicher Veröffentlichungen der letzten Dekade. So werden z.B. in [3] [4] [14] [21] verschiedene Methoden vorgestellt dieses Phänomen zu behandeln. Die Untersuchungen zeigen dabei deutliche nichtlineare Sättigungseffekte, die sowohl durch Finite-Elemente-Methode (FEM)-Analysen oder durch Vermessung des Motors am Prüfstand nachgewiesen wurden.

Die in Kapitel 2.2.3 vorgestellte Beschreibung der magnetischen Flüsse mittels konstanter Induktivitäten in d- und q-Richtung ist für eine genaue Modellierung nicht ausreichend. In dieser Arbeit sollen daher die Eisen-Sättigungseffekte über Kennlinienfelder in den magnetischen Flüssen und Strömen modelliert werden. Dieser Ansatz basiert auf den Arbeiten [14] und [21]. Dabei wird der Gesamtfluss nicht in Permanent- und Ankerrückwirkungsanteil aufgespalten (wie in Gleichung 2.13), sondern als Funktion beider Stromkomponenten ausgedrückt:

Die Funktionen f d und f q sind dabei bijektiv und besitzen somit eine Umkehrfunktion. Mit den

−1 d und f −1 Funktionen f q kann daher auch von den aktuellen Flusswerten auf die Stromwerte

2.2 Modellierung 12

geschlossen werden. Die Funktionen können im Vorfeld durch eine Vermessung der Maschine oder durch FEM-Analysen gewonnen werden. In einer simulativen Untersuchung mit dem Programm MATLAB/Simulink können diese dann über Look-Up Tables (LUTs) im Programmspeicher hinterlegt und während der Laufzeit abgerufen werden. In einer realen Untersuchung können die Daten entsprechend im Speicher eines digitalen Signalprozessors (DSP) oder dessen Speicher-Peripherie hinterlegt werden.

Auf Basis der oben beschriebenen Gesamtflussverkettung lassen sich differentielle Induktivitäten definieren, die sich aus den partiellen Ableitungen der Flussverkettungen nach den beiden Stromkomponenten in d- und q-Richtungen ergeben und in der differentiellen Induktivitätsmatrix zusammengefasst werden:

wobei für die einzelnen differentiellen Induktivitäten gilt:

Die Diagonalelemente der differentiellen Induktivitätsmatrix L dq,di f f werden als differentielle Selbstinduktivitäten und die Nebendiagonalelemente als dynamische Kreuzkopplungsindukdivitäten bezeichnet [14]. Die differentiellen Induktivitäten lassen sich dabei graphisch als Steigungen der Flüsse in d- und q-Richtung interpretieren. Die arbeitspunktabhängingen Werte der differentiellen Induktivitätsmatrix können aus den Kennlinienfeldern der Gleichungen 2.15 (z.B. per MATLAB-Skript) berechnet werden, welche aus der Vermessung oder FEM-Simulation der Maschine stammen.

Jetzt kann auf Basis von Gleichung 2.12 bzw. 2.14 eine Spannungsgleichung der Maschine angegeben werden, welche sowohl die Sättigungs- als auch Kreuzsättigungseffekte der Maschine berücksichtigt: ˙

wobei für die Matrix J gilt:

Der rechte Term in Gleichung 2.18 stellt die bekannten rotatorisch induzierten Polradspannun- gen dar, welche die Verkopplung der d- und q-Achse bewirken und aus Sicht einer Stromrege-

2.2 Modellierung 13

lung als Störgrößen aufzufassen sind. Diese werden daher in der feldorientierten Stromregelung aus Kapitel 4.2 vorgesteuert.

Die differentiellen Selbstinduktivitäten sind im Verbund mit dem ohmschen Statorwiderstand R S für die Streckendynamik der Maschine maßgeblich verantwortlich. Für den betrachteten Motor sind dynamische Kreuzkopplungseffekte nicht zu vernachlässigen, sodass neben der Verkopplung durch die Polradspannungen in Gleichung 2.18 eine zusätzliche Verkopplung durch die dynamischen Kreuzkopplungsinduktivitäten auftritt. Für die Stromregelung des Motors bedeutet dies, dass auch die dynamische Kreuzverkopplung am Stromreglerausgang vorgesteuert werden muss, um eine ideale Entkopplung der d- und q-Richtung zu bewirken. In Bild 2.5 sind die differentiellen Induktivitäten des betrachteten Motors in normierter Form dargestellt. Dabei ist zu beobachten, dass die Selbstinduktivitäten ungefähr um den Faktor 20 größer als die dynamischen Kreuzkopplungsinduktivitäten sind. Auch ist die Selbstinduktivität in q-Richtung deutlich größer als in d-Richtung.

0.25

/L max 0.225 0.2 L dd 0.175 0.15

0.05

/L max 0.025 L qd −0.025

−0.05

Liegen keine Sättigungseffekte vor, sind die dynamichen Kreuzkopplungsinduktivitäten gleich null und die absoluten Induktivitäten sind gleich den differentiellen Selbstinduktivitäten. Im Fall der Vernachlässigung von Eisen-Sättigungseffekten gilt daher:

L dd,di f f (i dq ) = L d L dq,di f f (i dq ) = 0 (2.19a) L qd,di f f (i dq ) = 0 L qq,di f f (i dq ) = L q (2.19b)