Anwendung der binären Entscheidungsmodelle: Logit und Probit

2

INHALTSVERZEICHNIS

TABELLENVERZEICHNIS   3

  ABBILDUNGSVERZEICHNIS  3

1.  Einleitung  4

2.  Das binäre Entscheidungsmodell: Probit und Logit  6

2.1  Spezifikation der Probit-und Logit-Modelle  8

2.1.1  Das Probit-Modell  8

2.1.2  Das Logit-Modell  9

2.1.3  Vergleich zwischen dem Logit- und Probit-Modell  10

2.2  Schätzung des binären Entscheidungsmodells  12

2.2.1  Maximum-Likelihood Schätzung  12

2.2.2  Bedingung erster und zweiter Ordnung  13

2.2.3  Gütemaß für binäre Regressionsmodelle  14

2.2.4  Durchführung von Tests in Logit-und Probit-Modelle  16

3.  Daten  18

3.1  Datenquelle  18

3.2  Das Entscheidungsmodell für fixe bzw. anpassungsfähige Hypothekenraten  18

3.3  Ergebnisse der Auswertung  21

4.  Zusammenfassung  26

  LITERATURVERZEICHNIS  27

ANHANG   29

3

  TABELLENVERZEICHNIS  

  A. Tabellen im Text  

  Tab. 1 : Ergebnisse des Logit-Modells 21  22

  ˆ  

  Tab 2 : Ergebnisse des Tests, A 0 5  24

  i  

  ˆ  

  Tab. 3 : Ergebnisse des Tests, A 0 5 1  25

  i  

  B. Tabellen im Anhang  

  Tab. 1 : Datensatz 30  31

  ABBILDUNGSVERZEICHNIS  

  Abb 1 : Vorhersage mit dem linearen Wahrscheinlichkeitsmodell  7

  Abb 2 : Kumulierte Logit-und Probit-Verteilungsfunktion  11

4

1. Einleitung

In gewissen wirtschaftlichen Situationen könnte es dazu kommen, dass die abhängige Variable in der Regressionsgleichung nicht stetig ist, sondern dass sie eine diskrete Wahl repräsentiert, wie beispielsweise:

• Der Arbeitsmarktstatus einer Person: In diesem Fall nimmt die abhängige Variable y den Wert null an, wenn die untersuchte Person einer Beschäftigung nachgeht, und Wert eins, wenn diese Person einen arbeitslosen oder einen vergleichbaren Status hat. Die Werte null und eins sind hierbei arbiträr und reine Konvention.

• Das Abstimmungsverhalten einer Person: Die Variable nimmt beispielsweise den Wert null, wenn die Person dagegen ist, den Wert eins, wenn sie keine Meinung hat und den Wert zwei, wenn sie dafür ist. In diesem Beispiel sind die Werte der abhängigen Variable zwar nicht quantitativ zu verstehen, aber sie weisen eine Ordnung auf.

Modelle, die solche abhängigen Variablen einbeziehen, werden „diskrete Wahlmodelle“ („Discrete Choice Models“), „qualitative Antwortmodelle“ („Qualitative Response Models“ ¹ ), „Kategoriemodelle“ („Categorical Models“) oder „Quantenmodelle“ („Quantal Models“) genannt. Die wirtschaftliche Auslegung solcher Modelle beruht typischerweise auf dem Prinzip der Nutzenmaximierung im Sinne von: Wähle A statt B , wenn der Nutzen von

A diesen von B übersteigt. Alternativ wird das beobachtete Vorkommen einer gegebenen Wahl als Kennzeichnen für grundlegende, unbeobachtbare stetige Variable angesehen, welche „Neigung zur Wahl einer gegebenen Alternative“ genannt werden kann. Eine solche Variable wird durch das Vorhandensein eines Grenzwertes (oder mehrerer Grenzwerte) gekennzeichnet. Somit bedeutet das Überschreiten dieses Grenzwertes Umschalten von einer zu anderer Alternative. Zum Beispiel die Neigung einer verheirateten Frau, sich den Arbeitskräften anzuschließen, könnte direkt von dem Verdienst abhängig sein, den sie beziehnen könnte. Im W eiteren könnte dieser Verdienst von ihrer Ausbildung und Arbeitserfahrung abhängig sein. Ob sie sich tatsächlich den Arbeitskräften anschließt oder nicht, hängt davon ab, ob der vom Markt angebotene Verdienst ihren Grenzwert übersteigt oder nicht. Dieser G renzwert bzw. Schwellenlohn, der selbstverständlich für die verschiedenen Frauen mit der gleichen Ausbildung und Arbeitserfahrung nicht der gleiche ist, spielt die Rolle einer stochastischen Störung. Beide Methoden - die Nutzenmaximierung und die Grenzwertmethode- sind eng miteinander verbunden.

¹ Vgl. Amemiya (1994), S. 315f.

5

Die Kompliziertheit der Bewertung und des Testens der Modelle mit qualitativen abhängigen Variablen wird mit Anstieg der Anzahl der Alternativmöglichkeiten größer. Aufgrund dessen werde ich mich in dieser Arbeit auf die Modelle mit zwei Alternativen und dichotomer abhängiger Variable konzentrieren.

Diese Arbeit verfolgt den Zweck, die theoretischen Aspekte der Probit-und Logit-Modelle unter die Lupe zu nehmen, insbesondere Vorteile und Nachteile dieser Modelle und Anwendungsmöglichkeiten. Das wird im ersten Teil vorgenommen. Im zweiten Teil wird ein Logit-Modell konzipiert, mit dem zu untersuchen sei, wie sich die Individuen entscheiden, wenn sie zwischen fixen und anpassungsfähigen Hypothekenraten zu wählen hätten.

6

2. Das binäre Entscheidungsmodell: Probit und Logit

Um die Probleme und Verfahren in diesem Kontext besser verstehen zu können, werde ich

zuerst eine binäre Entscheidung betrachten. Somit nimmt in diesem Fall die abhängige

Variable Y nur die zwei Werte null und eins. Welchen der beiden Werte die Zufallsvariable

annimmt, hängt nicht nur von dem Zufall sondern auch von gewissen erklärenden Faktoren

bzw. Variablen, die für das i ^-te Individuum zu einem Spalten Vektor x i zusammengefasst

werden, ab:

β = =

Die Parameter β geben den Einfuß der erklärenden Variablen an. Die einfachste

Spezifikation für die Funktion (.) ist eine lineare Funktion, indem das Modell mittels F

folgender Regression vorgestellt werden kann:

ε β α + + = = X Y (2-1) n i ,..., 2 , 1

i i i

dem Wert des Attributes für das i ^-te Individuum = X wobei

i



= Y

i

ε ist eine unabhängige und gleich verteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 0.

i

ε β α + + = X Y E ) (

i i i

Y . Aufgrund bezeichnet den Erwartungswert aller Beobachtungen der unabhängigen Variable i

Y gemäß Annahme eine binäre ist, gilt für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von dessen, das i

= = − = = ) 0 ( Prob 1 und ) 1 ( Prob : Y P Y P Y . Daher folgt für den Erwartungswert:

i i i i

= − × + × = P P P Y E ) 1 ( 0 ) ( 1 ) (

i i i i

Das Lineare Wahrscheinlichkeitsmodell hat allerdings drei gravierende Nachteile. Erstens, da

X ε β α + + ε entweder gleich β α − − X 1 entweder den Wert eins oder null annimmt, muss i

i i i

β α − − − P oder X P 1 mit Wahrscheinlichkeit i mit Wahrscheinlichkeit sein. Zweitens, für

i i

die Varianz des Störterms ε i ergibt sich folgendes:

7

( ) ( ) ( ) ( ) E 1 1 (2-2) ² i i i i i i P und ( ) − P 1 Die Wahrscheinlichkeiten können durch die Annahme, das der i i Erwartungswert ( ) 0 = E ε , berechnet werden. Das bedeutet, dass i ( ) ( )( ) 0 = − − − + − − β α β α 1 1 P X P X , i i i i

β α + = X P was nach Auflösung dieser Gleichung für ergibt. Somit ist die Varianz des i i

ε wie folgt: Störterms i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E − = Y E Y E 1 i i

was besagt, dass der Störterm Heteroskedastie aufweist - bei Beobachtungen, für welche P i

nah 1 oder 0 liegt, wird die Varianz relativ klein sein; bei solchen, die nah ½ liegen - groß.

Das Problem kann leicht gelöst werden, indem der GLS-Schätzer („Weighted Least Squares“)

) definiert

ε kann konsistent geschätzt werden, durch ² σ angewendet wird. Die Varianz von i i

als:

) ) ) Υ Υ = σ ) -(1 (2-3) , 2 i i

) der angepasste Kleinstquadratenwert von Y ist. Somit betrifft das zweite Problem wobei Y

Y ˆ , der negativ sein könnte oder den Wert 1 für einige X annimmt. Da Y ˆ ein Schätzer für

ist, sollten sich die Werte von Y ˆ auf das Intervall [0,1] beschränken. Das dritte ) (Y E

Problem und natürlich das seriöseste betrifft den Schnittpunkt und die Steigung. Die Letzten

sind nicht für alle Werte von X konstant, sondern verändern sich wie folgt:

β α / − ≤ X 1. Für sind der Schnittpunkt und die Steigung gleich Null. i

β α β α − ≤ ≤ − ist der Schnittpunkt gleich α und die Steigung gleich / ) 1 ( / X 2. Für i

β .

β α / ( − ≥ ) 1 X 3. Für ist der Schnittpunkt gleich 1 und die Steigung gleich 0. i

Die Abbildung 1 veranschaulicht die Schwächen des linearen Wahrscheinlichkeitsmodells.

Die Kleinstquadratschätzer für α

8

inkonsistent. Theoretisch gesehen könnte diese Verzerrung vermieden werden, indem solche

Punkte ausgeschlossen werden. Darüber hinaus ist in der Realität unmöglich diese Punkte zu

identifizieren, da α und β unbekannt sind. Das Problem kann überwältigt werden, indem

≤ + ≤ β α 1 0 X die gewichteten Kleinstquadratschätzer der Restriktion unterworfen werden.

i

Diese Lösung des oben dargestellten Problems ist unordentlich und die

Stichprobeneigenschaften des daraus resultierenden Schätzers sind unbekannt. 2

2.1 Spezifikation der Probit-und Logit-Modelle

Dieses Konsistenzproblem kann dadurch gelöst werden, indem das lineare

Wahrscheinlichkeitsmodell so modifiziert wird, dass die Vorhersagen für alle X im Intervall

(0,1) liegen, unter der Voraussetzung, dass anwachsende X -Werte mit anwachsenden

(absteigenden) Werten der abhängigen Variablen verbunden bleiben. Diese Anforderung

erfüllt eine kumulierte Verteilungsfunktion. ³ Die sich daraus ergebende Verteilung ist

= + = β α ) ( ) ( Z F X F P (2-4)

i i i

2.1.1 Das Probit-Modell

Eine mögliche S -förmige Funktion, welche die Voraussetzungen eines

Wahrscheinlichkeitsmodells erfüllt, ist die kumulierte Verteilungsfunktion der

Normalverteilung, die dem sogenannten Probit-Modell entspricht. Es wird eine

Y definiert als unbeobachtbare Variable ∗

i

ε β α + + = X Y , ∗

i i i

ε ε und j ε i ≠ unabhängig sind. Die beobachtbare binäre Variable ) 1 , 0 ( ~ N wobei und i ) ( j

i

Y ist mit ^∗ Y in der folgenden Art und Weise verbunden.

i i

= > 1 Y , 0 Y wenn ∗

i i

= ≤ 0 Y . 0 Y wenn ∗

i i

Dann

β α ε π + < − = > = = = = ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( X P Y P Y P Y E ∗

i i i i i i (2-5)

β α + = ), ( X F

i

² Judge, G.G., Hill, R.C., Griffiths, W.E., Lütkepohl, H. and Lee, T.C. (1988), S. 759-761.

³ Vgl. Neusser (2000), S. 2.