1.  Einleitung  1

2.  Das Black-Scholes-Merton-Modell.  1

2.1  Modell für das Verhalten von Aktienkursen  1

2.1.1  Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung  2

2.1.2  Erweiterung des Wiener-Prozesses.  2

2.1.3  Der Prozess für Aktienkurse.  2

2.2  Prämissen  3

2.3  Pricing by duplication und die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung.  4

3.  Die Black-Scholes-Preisformel.  6

4.  Die Volatilität des Aktienkurses  8

4.1  Schätzung der Volatilität anhand historischer Daten.  8

4.2  Implizite Volatilität.  9

5.  Die griechischen Buchstaben  9

5.1  Delta  10

5.2  Gamma Γ.  11

5.3  Theta Θ  12

5.4  Vega.  13

5.5  Rho Ρ  14

6.  Praxisbezug.  14

7.  Literaturverzeichnis  16

1. Einleitung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Optionsbewertung nach Black und Scholes. Dabei wird eine direkte Herleitung der Black-Scholes-Preisformel zur Bewertung einer Kaufoption europäischen Typs auf eine Aktie vorgestellt.

Zunächst wird die im Modell unterstellte Aktienkursverlaufshypothese näher erläutert (Abschnitt 2.1). Aus der formalen Darstellung der Kursdynamik resultiert eine einfache Verteilungsannahme für den zukünftigen Aktienkurs. In Abschnitt 2.2 werden die Prämissen aufgezeigt, die den Untersuchungen von Black, Scholes und Merton zugrunde liegen. Anschließend folgt die Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung, die den Ausgangspunkt für die Black-Scholes-Preisformel darstellt. Diese bildet seit den siebziger Jahren die Grundlage der Optionstheorie und hat auch die finanztheoretische Forschung grundlegend verändert. Ihre Verdienste und die Bedeutung des Black-Scholes-Modells wurden schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gewürdigt. In Abschnitt 5 gehe ich auf die griechischen Buchstaben ein, die auf anschauliche Art und Weise die Abhängigkeit des Optionspreises von verschiedenen Parametern, die der Preisformel zugrunde liegen, verdeutlichen. Abschließen werde ich meine Arbeit mit einem Ausblick auf den Praxisbezug des Modells.

Da Derivative von der Entwicklung des ihnen zugrunde liegenden Vermögensgegenstandes abhängen, ist es zunächst wichtig, den Verlauf dieses Vermögensgegenstandes zu definieren. Bei Aktienoptionen bedeutet dies, dass zunächst der Prozess, dem Aktien folgen, beschrieben werden muss. Hierbei wird ein stochastischer Prozess mit kontinuierlichem Zeitablauf und kontinuierlichen Variablen zugrunde gelegt. ¹ Soll heißen, dass Veränderungen jederzeit stattfinden können, und dass die Variable jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereiches annehmen kann. ² Der Verlauf, dem die Aktie (Variable) dabei folgt, ist unabhängig von der historischen Entwicklung der Variablen. Die einzige relevante Information ist der momentane Kurs. Diese Tatsache, dass für die Prognose der

¹ Hull (2001), S. 311

² Beim Binomialmodell wird hingegen ein stochastischer Prozess mit diskretem Zeitablauf und diskreten

Variablen vorausgesetzt, d.h., die Variable kann nur bestimmte Werte zu bestimmten Zeitpunkten

annehmen

1

zukünftigen Kursentwicklung lediglich der gegenwärtige Wert der Variablen von Relevanz ist, nennt man Markov-Eigenschaft. ³ Vorhersagen über die Zukunft sind damit unsicher und müssen mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsverteilungen umschrieben werden. 4

2.1.1 Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Unsicherheit über die zukünftige Entwicklung wird mit Hilfe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung umschrieben, die normalverteilt ist mit dem Mittelwert = und einer Varianzrate ² σ von 1,0 pro Jahr. Diese spezielle Variante des Markov- 0 µ

Prozesses wird als Wiener-Prozess oder als Brown´sche Bewegung bezeichnet. ⁵ Der Wiener-Prozess gibt die Veränderung einer Variablen z an, der eine

Wahrscheinlichkeitsverteilung von ( )

zugrunde liegt. Die Veränderung dz während 1 , 0 φ

einer kurzen Zeitperiode dt ist dabei gegeben durch: ⋅ = ε dt dz

mit: ε als Zufallsstichprobe aus einer Standardnormalverteilung mit ( ) . ⁶ 1 , 0 φ

2.1.2 Erweiterung des Wiener-Prozesses

Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt, verläuft die Veränderung einer Variablen z, die dem Wiener-Prozess folgt, nach folgendem Verlaufsmuster: ⋅ = ε dt dz .

Dieses Verhaltensmuster kann verallgemeinert werden auf eine Variable x (mit einer erwarteten, konstanten Driftrate von a und einer konstanten Standardabweichung b) in Abhängigkeit des Wiener-Prozesses zu: ⁷ ⋅ + ⋅ = . dz b dt a dx

a ⋅ . Diese Veränderung ist zu korrigieren In einer Periode von T verändert sich x um T

b ⋅ , den b-fachen Wiener-Prozess, der eine Störgröße für den Pfad, um den Term dz dem x folgt, darstellt.

2.1.3 Der Prozess für Aktienkurse

⋅ + ⋅ = Die Gleichung beschreibt den Prozess, dem eine Aktie folgt noch dz b dt a dx

nicht vollständig. Denn hierbei wird unterstellt, dass der Aktienkurs eine konstante erwartete Driftrate a und eine konstante Varianzrate b ² hätte. Doch diese Annahme ist nicht haltbar, da die erwartete prozentuale Aktienrendite vom Niveau des Aktienkurses

³ Hull (2001), S. 312

⁴ Hahnenstein/Wilkens/Röder (2001), S. 356

⁵ Thiel (2001), S. 65

⁶ Hull (2001), S. 314

⁷ Hull (2001), S. 316

2

unabhängig ist. ⁸ Die konstante erwartete Driftrate a ist durch die Annahme einer ⋅ konstanten Rendite zu ersetzen. Das heißt, dass a durch ersetzt wird, wobei S der S µ

Aktienkurs zum Zeitpunkt t ist und µ die in dezimaler Form ausgedrückte erwartete Rendite der Aktie. Auch die Standardabweichung b muss in der Hinsicht korrigiert werden, als sie proportional zum Aktienkurs ausgedrückt werden muss. Dem liegt die Annahme zugrunde, dass die Unsicherheit eines Investors über die prozentuale Rendite unabhängig vom Aktienkurs in einer kurzen Zeitperiode dt gleich groß ist. Dadurch gelangt man zum verbreitetsten Modell für das Verhalten von Aktienkursen, das auch geometrische Brown´sche Bewegung (Random Walk) genannt wird: 9

mit: σ = Volatilität des Aktienkurses, als konstant angenommen

µ = erwartete Rendite der Aktie, als konstant angenommen

dS = Veränderung des Aktienkurses S

dz = Wiener-Prozess. ⋅ Die Änderung des Aktienkurses setzt sich somit aus der erwarteten Kursänderung dt µ ⋅ und einer unerwarteten, stochastischen Änderung zusammen. dz σ

2.2 Prämissen 10

Bei der Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung müssen verschiedene Annahmen getroffen werden, damit diese Gültigkeit erlangt. Diese sind im Einzelnen:

(1) Der Kapitalmarkt ist reibungslos. Das heißt, es gibt weder Transaktionskosten noch Steuern noch sonstige Handelshemmnisse. Alle Wertpapiere sind damit beliebig teilbar.

(2) Der Leerverkauf von Wertpapieren und die vollständige Verwendung der daraus resultierenden Erlöse ist erlaubt.

(3) Während der Optionslaufzeit werden weder Dividenden noch sonstige Zahlungen auf die Aktie ausgeschüttet.

(4) Es gibt keine risikofreien Arbitrage-Möglichkeiten, d.h., niemand kann durch bloße Umschichtung seines in Finanztiteln gebundenen Vermögens Gewinne erzielen.

⁸ Hull (2001), S. 320 f.

⁹ Thiel (2001), S. 67

¹⁰ Serfling/Dechant/Gatsonis (1990), S. 448 f.

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