Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  2

2  Relative Kompaktheit  2

3  Der Fall R  2

3.1  Vorbereitungen  2

3.2  Die Suche  3

4  Der Satz  5

4.1  Formulierung  5

4.2  Beweis  6

1

1 Einleitung

Zunächst wird der Begri der relativen Kompaktheit eingeführt. Der Satz von Prohorov liefert ein Kriterium für relative Kompaktheit. Dieser wird zunächst am Beispiel einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaÿen auf (R,R) motiviert. Schlieÿlich wird er für die Spezialfälle R k und R ∞ bewiesen. Eine Anmerkung zur Notation: Die Tatsache, dass (P n ) schwach gegen P konver- P n = P . giert, schreiben wir auch als s-lim

n

2 Relative Kompaktheit

Wir geben zunächst die Denition:

Denition 1. Es sei S ein metrischer Raum und S die zugehörige Borelsche σ-Algebra. Sei Π eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaÿen auf S. Besitzt jede Folge (P n ) in Π eine Teilfolge (P n ), die gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ Q auf S konvergiert, so heiÿt Π relativ kompakt.

Dieser Begri ist eng mit dem der Folgenkompaktheit verwandt: Nehmen wir an, dass wir auf der Menge der Wahrscheinlichkeitsmaÿe auf S eine Topologie erklärt haben, so dass schwache Konvergenz gleichbedeutend mit Konvergenz bezüglich dieser Topologie ist. Dann ist Π ist relativ-kompakt äquivalent zu Der Abschluss von Π ist folgenkompakt.

3 Der Fall R

Wir begeben uns nun im Fall einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaÿen auf (R,R) auf die Suche nach einem Kriterium für relative Kompaktheit.

Zuvor müssen wir uns jedoch noch einige Fakten zurechtlegen.

3.1 Vorbereitungen

Denition 2. Eine reellwertige Funktion F auf dem R k heiÿt Verteilungsfunktion, wenn sie nachfolgende Bedingungen erfüllt: (i) F ist stetig von oben

(ii) Für alle x ∈ R k gilt 0 ≤ F (x) ≤ 1, F ist monoton wachsend, für alle a, b ∈ R k mit a ≤ b gilt

(−1) |M | F (c M ) 0 ≤ ∆F (a, b) :=

M ⊂{1,...,k}

2

wobei c M

i =

(iii) lim F (x) = 1 und lim F (x 1 , ..., x j , ..., x k ) = 0 für 1 ≤ j ≤ k und beliebig, x j →−∞ x→∞

aber fest gewählte x 1 , ..., x j−1 , x j+1 , ..., x k .

Besitzt F nur die Eigenschaften (i) und (ii), so nennen wir F eine maÿerzeugende Funktion.

Satz 1. (Auswahlsatz von Helly) Sei (F n ) eine Folge von Verteilungsfunktionen auf dem R k . Dann besitzt (F n ) eine Teilfolge (F n ) für die eine maÿerzeugende Funktion F auf dem R k existiert, so dass (F n ) schwach gegen F konvergiert, i.e. für alle Stetigkeitsstellen x von F gilt F n (x) → F (x).

Beweis. Es wird auf [1, S. 227] verwiesen.

Der nachfolgende Satz rechtfertigt die Bezeichnung maÿerzeugend: Satz 2. Sei F eine maÿerzeugende Funktion auf dem R k . Dann existiert genau ein endliches Maÿ µ auf R k , so dass

µ(]a, b]) = ∆F (a, b)

für alle k-dimensionalen halboenen Rechtecke ]a, b] gilt.

Beweis. Es wird auf [2, S. 149] verwiesen.

3.2 Die Suche

Wir betrachten eine Familie Π von Wahrscheinlichkeitsmaÿen auf R. Gesucht ist eine Bedingung an Π, die sicherstellt, dass jede Folge (P n ) in Π eine konvergente Teilfolge besitzt.

Sei (P n ) eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaÿen in Π und (F n ) die zugehörige Folge von Verteilungsfunktionen. Der Auswahlsatz von Helly besagt, dass (F n ) eine Teilfolge (F n ) besitzt, für die eine maÿerzeugende Funktion F existiert, so dass (F n ) schwach gegen F konvergiert. Satz 2 besagt nun, dass ein endliches Maÿ µ auf R existiert, so dass µ(]a, b]) = F (b)−F (a) für alle halboenen Intervalle ]a, b] gilt.

Wäre µ ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ, so würde (P n ) schwach gegen µ konvergieren. Dies sieht man wie folgt ein: Zunächst liefert uns folgende Gleichungskette, dass lim F (−m) = 0 gilt:

m→∞

1 = µ(R) = lim

3

Ist nun x ∈ R beliebig, so gilt aufgrund der Stetigkeit von unten

µ(] − ∞, x]) = lim

Also ist F die Verteilungsfunktion von µ. Also konvergiert die zu (P n ) gehörige Folge von Verteilungsfunktionen schwach gegen die Verteilungsfunktion von µ. Hieraus folgt nun, dass (P n ) schwach gegen µ konvergiert.

Jedoch ist µ im Allgemeinen kein Wahrscheinlichkeitsmaÿ wie das folgende Beispiel belegt.

Beispiel 1. Es bezeichne δ n das Dirac-Maÿ im Punkt n. Sei Π deniert als {δ n |n ∈ N}. Setze P n := δ n . Für x < n gilt F n (x) = 0, für x ≥ n gilt F n (x) = 1. Folglich konvergiert jede Teilfolge (F n ) schwach gegen 0. Also ist µ in diesem Fall das Nullmaÿ.

Salopp formuliert ist in diesem Fall Wahrscheinlichkeitsmaÿe nach Unendlich entwichen. Um dies zu verhindern fordern wir, dass für alle > 0 ein halboenes Intervall ]a, b] existieren soll, so dass

P n (]a, b]) > 1 − für alle n ∈ N (T1)

gilt. Nun können wir zeigen, dass µ ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ ist.

Um zu zeigen, dass µ(R) ≥ 1 gilt, argumentieren wir für ein beliebiges positives wie folgt:

Zunächst stellen wir fest, dass F höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt: Ist b ∈ R nämlich Unstetigkeitsstelle von F, so folgt aufgrund von,

dass b ein Atom von µ ist. Jedoch besitzt µ als endliches Maÿ höchstens abzählbar viele Atome.

Zum halboenen Intervall ]a, b] aus der Bedingung (T1) können wir deswegen ein Intervall ]a , b ] wählen, das ]a, b] umfasst, so dass a und b Stetigkeitsstellen von F sind. Nun gilt:

µ(R) ≥ µ(]a , b ]) = F (b )−F (a ) = lim

Da beliebig war, gilt µ(R) ≥ 1.

Dass µ(R) ≤ 1 gilt, sieht man wie folgt ein:

4

Angenommen, µ(R) wäre gröÿer als 1. Dann gäbe es aufgrund der Stetigkeit von unten ein halboenes Intervall ]a, b], so dass µ(]a, b]) > 1 ist. O.B.d.A können wir annehmen, dass a und b Stetigkeitstellen von F sind. Dann folgt aus der obigen Gleichung, dass lim P n (]a, b]) > 1 gilt. Dies kann nicht sein, da die P n Wahrscheinlichkeitsmaÿe sind.

Die Bedingung (T1), die wir an (P n ) gestellt haben, sichert also, dass (P n ) eine schwach konvergente Teilfolge besitzt. Ein hinreichendes Kriterium für die relative Kompaktheit von Π ergibt sich also, indem wir fordern, dass für alle > 0 ein halboenes Intervall ]a, b] existiert, so dass

P (]a, b]) > 1 − für alle P ∈ Π (T2)

gilt.

Wir zeigen noch abschlieÿend, dass die Bedingung (T2) auch notwendig ist. Angenommen, Π ist relativ kompakt und erfüllt (T2) nicht, i.e. es existiert ein > 0, so dass für alle halboenen Intervalle ]a, b]

P (]a, b]) ≤ 1 − für ein P ∈ Π

ist. Da Π relativ kompakt ist, exisistieren eine Teilfolge (P n ) von (P n ) und ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ P auf R, so dass (P n ) schwach gegen P konvergiert. Der Satz von Portmanteau liefert für beliebiges m ∈ N folgende Ungleichungskette:

P (] − m, m[) ≤ lim inf

Folglich wäre P (R) < 1 (Stetigkeit von unten), dies ist ein Widerspruch!

4 Der Satz

4.1 Formulierung

Um die Ergebnisse für den Spezialfall der reellen Zahlen auf beliebige metrische Räume zu übertragen, verallgemeinern wir in folgender Denition die Bedingung (T2) aus dem vorangegegangenen Abschnitt.

Denition 3. Es sei S ein metrischer Raum und S die zugehörige Borelsche σ- Algebra.Sei Π eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaÿen auf S. Existiert für jedes > 0 ein Kompaktum K ⊂ S, so dass

P (K) > 1 − für alle P ∈ Π

gilt, so heiÿt Π stra.

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Der Satz von Prohorov lässt sich nun wie folgt formulieren:

Satz 3. Mit den Bezeichnungen von Denition 3 gilt:

1. Ist Π stra, so ist Π relativ kompakt.

2. Ist S zusätzlich separabel und vollständig, so impliziert die relative Kompaktheit von Π die Straheit von Π.

4.2 Beweis

Beweis von Teil 1

Der Beweis wird stufenweise für die Fälle R k , R ∞ , S σ-kompakt und S beliebig

geführt.

Der Fall R k Im Wesentlichen wird der Beweis wie im Fall k = 1 geführt.

Sei Π stra. Sei (P n ) eine Folge in Π und (F n ) die zugehörige Folge von Verteilungsfunktionen. Der Auswahlsatz von Helly sichert, dass (F n ) eine Teilfolge (F n ) besitzt, für die eine maÿerzeugende Funktion F existiert, so dass (F n ) schwach gegen F konvergiert. Laut Satz 2 existiert ein endliches Maÿ µ auf R k , so dass für alle halboenen k-dimensionalen Rechtecke ]a, b] gilt: µ(]a, b]) = ∆F (a, b). Haben wir

a. µ(R k ) ≥ 1

b. µ(R k ) ≤ 1

c. F ist Verteilungsfunktion von µ

gezeigt, so folgt die schwache Konvergenz von (P n ) gegen µ.

ad a

Sei > 0 beliebig. Da Π stra ist, existiert ein Kompaktum K ⊂ S, so dass P n (K) > 1 − für alle n gilt. Nun kann man a und b nden, so dass K ⊂ ]a, b] ist und alle Eckpunkte c M von ]a, b] Stetigkeitsstellen von F sind. (Man argumentiert hierzu ähnlich wie im Fall k=1). Dies rechtfertig folgende Ungleichung:

µ(R k ) ≥ µ(]a, b]) =

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Da beliebig war, gilt die Behauptung.

ad b

Angenommen, es gälte µ(R k ) > 1. Dann würde ein k-dimensionales Rechteck ]a, b] existieren, so dass µ(]a, b]) > 1 ist. O.B.d.A. sei F in allen Eckpunkten c M von

]a, b] stetig. Dann lehrt die obige Gleichungskette, dass lim also existiert ein n 0 , so dass P n Wahrscheinlichkeitsmaÿ ist.

ad c

Man kann mit einer ähnlichen Argumentation wie im Fall k=1 zeigen, dass

F (x 1 , ..., x j−1 , −m, x j+1 , ..., x k ) = 0 lim (L)

m→∞

für beliebige, aber festgehaltene x 1 , ..., x j−1 , x j+1 , ..., x k gilt. Für beliebiges b ∈ R k gilt die Gleichung

µ(] − ∞, b]) = lim

(Hierbei bezeichne e den Vektor (1, ..., 1). Der Vektor c M m sei an der i-ten Stellen

deniert als −m, falls i ∈ M gilt und als b i , falls i / ∈ M gilt.)

Aufgrund von (L) erhalten wir somit µ(] − ∞, b] = F (b 1 , ..., b k ).

Der Fall R ∞ Zunächst sei angemerkt, dass wir auf dem R ∞ die Produkttopolo-gie zugrundelegen. Wir bezeichnen sie im Folgenden mit τ . Es lässt sich zeigen, dass der topologische Raum (R ∞ , τ ) metrisierbar ist. Weiterhin kann man zeigen, ∞ dass die von τ erzeugte σ-Algebra R ∞

mit der Produkt-σ-Algebra stimmt.

Bevor es mit dem Beweis losgeht, benötigen wir noch ein kleines Lemma und den Satz von Kolmogorov.

Lemma 1. Es seien S und S metrische Räume und S die Borelsche σ-Algebra auf S. Sei Π eine strae Familie von Wahrscheinlichkeitsmaÿen auf S. Sei h : S → S eine stetige Abbildung. Dann ist auch {P h −1 |P ∈ Π} stra.

Beweis des Lemmas Sei > 0 beliebig. Nach Voraussetzung existiert ein Kom-

paktum K ⊂ S, so dass P (K) > 1 − für alle P ∈ Π ist. Da h stetig ist, ist h(K) kompakt in S . Da K ⊂ h −1 (h(K)) gilt, erhalten wir für ein beliebiges P ∈ Π

P h −1 (h(K)) = P (h −1 (h(K)) ≥ P (K) > 1 −

Ende des Lemma-Beweises

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Satz 4. (Satz von Kolmogorov) Für k ∈ N bezeichne ψ k die Projektion vom R k auf den R k−1 und π k die Projektion vom R ∞ auf den R k . Sei µ k ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf R k . Gilt für alle k ∈ N

µ k−1 = µ k ψ −1 (K)

k

so existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ µ auf

alle k ∈ N gilt.

Einen Beweis dieses Satzes ndet man in [1, S.228].

Jetzt beginnen wir mit dem eigentlichen Beweis: Sei Π eine strae Familie von Wahrscheinlichkeitsmaÿen auf R ∞ . Sei (P n ) eine Folge in Π. Unser Zwischenziel ist es, eine Teilfolge (P n ) zu konstruieren, so dass für alle k ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ µ k auf R k existiert, so dass

P n π −1 k = µ k s-lim

gleichzeitig für alle k gilt.

Da nach unserem Lemma für k ∈ N auch {P π −1 k |P ∈ Π} stra ist, können wir

eine Teilfolge (P n 1 ) von (P n ) und ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ µ 1 auf R 1 nden, P n 1 π −1 1 = µ 1 ist. Weiterhin können wir eine Teilfolge (P n 2 ) von (P n 1 ) so dass s-lim

n 1

P n 2 π −1 2 = µ 2 ist. Induktiv erhält man folgendes Schema bei nden, so dass s-lim

n 2

dem Zeile k stets Teilfolge von Zeile k − 1 ist:

P n 1 P n 1

1 2

P n 2 P n 2

1 2

P n 3 P n 3

1 2

.

Nun ist die Folge (P n ) := (P n 1 , P n 2

1

Teilfolge von (P n k ) (Georg Cantor sei Dank) und somit gilt s-lim

gleichzeitig für alle k.

Nun erfüllt {µ k } die Bedingung (K). Denn (ψ k ist stetig):

µ k−1 = s-lim

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Der Satz von Kolmogorov sichert nun die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsma-

ÿes Q auf

endlichdimensionalen Mengen aus R ∞ , i.e. Mengen der Form π −1

eine konvergenzbestimmende Klasse bilden, gilt s-lim

Die Fälle S σ-kompakt, S beliebig

Es sei auf [1, S. 38]verwiesen.

Beweis von Teil 2

Es wird auf [1, S. 40] verwiesen.

Literatur

-P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, New York, 1968

[1]

-P. Billingsley, Probability and Measure, Wiley, New York, 1986

[2]

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